2. Интегрирование по частям

1. Сведения из теории

Если ,– функции, имеющие непрерывные производные на отрезке, то справедливаформула интегрирования по частям для неопределенного интеграла

,

или в краткой записи

,

а также формула интегрирования по частям для определенного интеграла

или в краткой записи

.

2. Примеры решения задач

1. Вычислить .

◄ Положим . Тогда ,

(постоянную C здесь считаем равной 0). По формуле интегрирования по частям имеем:

. ►

2. Вычислить .

◄

К стоящему справа интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

. ►

3. Вычислить .

◄

. ►

4. Вычислить .

◄ Выполним замену переменной . Тогда,и интеграл примет вид

. ►

5. Вычислить.

◄ Используем формулу (3.2) интегрирования по частям для определенного интеграла.

. ►

6. Вычислить.

◄

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы методом интегрирования по частям.

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

2. ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,

СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

1. Сведения из теории

Для вычисления интегралов вида

из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат:

и делается замена переменных .

2. Примеры решения задач

1. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене:

.

Сделаем в интеграле подстановку . Тогда,,

(используем табличные интегралы 3 и 11)

=.►

2. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене

.

(табличные интегралы 3 и 12) =

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.

.	.
.	.

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

1. Сведения из теории

Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение многочленов

.

Если , то дробь называетсяправильной, если тонеправильной.

Рациональные дроби следующих типов называются простейшими дробями.

(1) ; (2),

(3) , (4).

Простейшие дроби типов (1) и (2) интегрируются просто:

;

.

Метод интегрирования простейших дробей типа (3) был изложен в п. 4. Интегрирование дробей типа (4) довольно громоздко и здесь излагаться не будет.

Произвольную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Как это сделать будет показано ниже в п. 5.2 на примерах. Поэтому интегрирование правильных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

С помощью деления “уголком” неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (см. пример 5.2.4); тем самым интегрирование неправильной дроби сводится к рассмотренной выше задаче интегрирования правильной дроби.