1. Метод подстановки

Пусть функция дифференцируема и имеет дифференцируемую обратную. Тогда

,

где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию .

При удачном выборе подстановки интеграл, стоящий в правой части формулы, может оказаться «проще» исходного.

Для определенного интеграла соответствующая формула имеет вид

,

где , а.

2. Примеры решения задач

Далее знак будет означать ссылку на табличный интеграл с номеромN.

1. Вычислить.

◄ Перепишем интеграл в виде . Под знаком интеграла стоит степень функции, поэтому удобно подвестипод знак дифференциала:

. ►

2. Вычислить .

◄ Подведём под знак дифференциала : так как дифференциал, тоПоэтому

.

3. Вычислить .

◄ Так как и. ►

4. Вычислить .

◄ Так как , то. ►

5. Вычислить .

◄ Так как , то . Тогда

. ►

6. Вычислить .

◄ Подведём под знак дифференциала :

. ►

7. Вычислить .

◄ Так как , то, тогда

. ►

8. Вычислить .

◄ Так как , то

. ►

9. Вычислить .

◄ . ►

10. Вычислить .

◄ . ►

11. Вычислить .

◄

. ►

12. Вычислить .

◄ . ►

13. Вычислить .

◄ Так как интеграл определенный, то будем пользоваться вариантом формулы подведения под дифференциал.

. ►

14. Вычислить .

◄

. ►

15. Вычислить .

◄ Будем пользоваться формулой замены переменных в форме подстановки. Обозначим . Тогда,и

. ►

16. Вычислить .

◄ Так как интеграл определенный, то воспользуемся формулой замены переменных. Обозначим . Тогдапри , при,,, и

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы, используя метод подведения под знак дифференциала.

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

Вычислить интегралы, применяя указанные подстановки.

, .	, .
, .	, .
, .	, .