2. Примеры решения задач

1. Убедиться, что функция является первообразной функциина.

◄ Действительно, . ►

2. Убедиться, пользуясь определением, что

.

◄ Так как , то. ►

3. Вычислить

◄ При вычислении этого интеграла применим свойства 2, 3 и табличный интеграл 2.

. ►

4. Вычислить .

◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования (возведение суммы в квадрат и деление суммы на число), свойства 2, 3 и табличные интегралы 2 и 3.

. ►

4. Вычислить .

◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 11

=. ►

4. Вычислить .

◄ При вычислении интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 12.

. ►

4. Вычислить .

◄ Используем тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 10.

. ►

4. Вычислить определенный интеграл .

◄ Так как , то по формуле Ньютона – Лейбница

. ►

4. Вычислить определенный интеграл .

◄ Используем формулу Ньютона-Лейбница и формулу 7 таблицы интегралов: . ►

4. Вычислить определенный интеграл.

◄ Соответствующий неопределенный интеграл вычислен в примере 1.2.5. Поэтому

. ►

4. Вычислить определенный интеграл.

◄ Используем тригонометрическую формулу , свойство линейности определенного интеграла, табличные интегралы 1 и 8 и формулу Ньютона–Лейбница:

. ►

2. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы, используя таблицу интегралов и свойства 1-3.

.	.
	.
.
	.

Вычислить определенные интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов и формулу Ньютона–Лейбница.

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

2. Метод замены переменных

1. Сведения из теории

Существует два варианта этого метода.

1. Метод подведения под знак дифференциала

Предположим, что подынтегральное выражение удалось представить в виде (это преобразование называетсяподведением функции под знак дифференциалаd). Тогда

,

где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную u на функцию . Интеграл, получившийся в результате такого преобразования, может оказаться «проще» исходного, например, табличным.

Для определенного интеграла формула имеет вид

,

где ,. Таким образом, при замене переменных в определенном интеграле меняются пределы интегрирования, зато не надо после интегрирования возвращаться к прежней переменной.