1. Основные положения теории вероятносТей, важные для решения задач теории надежности строительных конструкций

Событие- качественный или количественный результат опыта, осуществляемого при определенных условиях. Например, событие - попадание предела текучести сталив интервал от 240 до 260 МПа. Событие может быть случайным, достоверным или невозможным. Объективная математическая оценка возможности реализации случайного события -вероятность.Вероятность есть объективная мера возможности наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет. В жизни все (полуинтуитивно) применяют вероятностные оценки будущим событиям и весьма успешно.

Частота событияА(статистическая вероятность).

,

где - число опытов, в которых наблюдается событиеА;

n- общее число опытов.

Значения - случайны.

,

где - математическая вероятность, являющаясядостовернойвеличиной, т.е. вероятность того, что приnравна 1.

.

При вероятность, при соответственно.

События несовместныв данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе. (Например, появление цифр от 1 до 6 на игральном кубике).

Случайные события совместны, если при данном испытании могут произойти два эти события.

Если событияАиВнесовместны, то вероятность появленияилисобытияАилисобытияВ:

(1.2)

или в общем виде (1'.2).

Сумма вероятностей двух противоположных событий

(2.2).

СобытиеАнезависимоотВ, если вероятность появления событияА не зависит от того, произошло событиеВили нет.

Если события АиВнезависимы (они совместны), то вероятность появленияисобытияАисобытияВравна:

, (3.2).

В урне два кубика – черный и белый и два шарика – черный и белый. Вероятность появления черного кубика равна произведению вероятностей появления черного цвета и кубика, т.е. 1/21/2=1/4.

Из формулы (3.2) видно, например, что если событиеА(появление максимальной ветровой нагрузки) и событиеВ(появление максимальной снеговой нагрузки) – независимы, то вероятность одновременного появленияАиВ(т.е. максимумов нагрузок) меньше вероятности появления одного из событий (максимумов нагрузки) .

Это учитывается коэффициентом сочетаний .

Вероятность тем меньше, чем меньшеи.

Формула (3.2) иллюстрируется последовательным соединением. Вероятность неразрушения последовательной системы:

, (4.2)

где ,i =1,3 – вероятности неразрушенияi‑го элемента системы,

–событие, состоящее в неразрушении i–го элемента системы.

Пример последовательного соединения: статически определимая система т.к. разрушение всей системы происходит при разрушении хотя бы одного из элементов, т.о. вероятность неразрушения всей системы меньше вероятности неразрушения любого ее отдельного элемента.

Формула (3.2) также иллюстрируется и параллельным соединением. Вероятность разрушения параллельной системы:

, (4'.2)

где – вероятности разрушенияi–го элемента системы.

Вероятность неразрушения параллельной системы:

(5.2)

или в общем виде: (5'.2).

Пример параллельного соединения: статически неопределимая система т.к. разрушение всей системы происходит при разрушении всех избыточных и еще одной связей. Т.о. вероятность неразрушения всей системы больше вероятности неразрушения любого ее отдельного элемента. Однако в действительности в статически неопределимой системе вероятности разрушения элементов системы ненезависимы, т.к. разрушение одного элемента из-за перераспределения усилий приводит к изменению вероятностей разрушения остальных элементов.

Например, при диаграмме Прандтля «условное» разрушение одного элемента статически неопределимой системы (т.е. напряжение в этом элементе при увеличении Nостается постоянным и равным) в меньшей степени приводит к перераспределению усилий, а, следовательно, и к изменению вероятностей разрушения. Т.о. статически неопределимая система со стержнями, работающими по диаграмме Прандтля, больше подходит в качестве примера для параллельной системы.

Если случайные событияАиВсовместны (и независимы), то вероятность появленияилиАилиВ:

(6), (6.2).

Если случайные события АиВзависимы (и совместны) и вероятности их появленияР(А)иР(В),то вероятность совмещения событийАиВ(произойдет иАиВ):

(7.2),

где – условная вероятность, т.е. вероятность появления событияВ, при условии, что событиеАпроизошло. Аналогично(7.2).

Например, в урне два черных и два белых шара. Событие А– появление белого шара с первого раза, событиеВ- появление белого шара со второго раза. Вероятность появления белого шара два раза подряд определяется формулой:

Р(АВ)=Р(А)Р(В\А)=1/2·1/3=1/6.

Из формул (7) и (7) можно получить:

(8.2),

где – априорная вероятность появления событияА, определенная до того как стала известна информация о событииВ.

–апостериорная вероятность появления события А, основанная на этой информации.АиВпроизошли, но мы определяем вероятность того, что передВбылоА.

Если АиВнезависимы, тои наоборот.

Пусть имеется nнесовместных событийс вероятностями их появленияи пусть– условные вероятности осуществления событияВс одним изnсобытий. (Т.е. событияВиА₁,ВиА₂,…,В иА_n– зависимы и совместны). Тогда вероятность осуществления событияВ:

(9.2)

Это формула полной вероятности,

где - вероятность того, что произойдетВи;

–по другому – вероятность того, что Впроизойдет с любым из.

Пусть событие Впроизошло, это изменит вероятности. Надо найти условные вероятностиосуществления события,i =1,…nпри условии, чтоВпроизошло (т.е. еслиВпроизошло, то надо найти вероятность того, что ему предшествовало появление именно события).

Формула полной вероятности Байеса (из (9) и (8)):

(10.2),

где – вероятность появления событиядо того как произошлоВ;

i =1, 2,…n.

(– как бы является удельным весом вероятностив сумме всех вероятностей).

Производится nнезависимых опытов, имеющих два возможных исхода – появление и непоявление событияА(вероятность появленияp, непоявленияq= 1 -p). Вероятность того, что приnиспытаниях событиеАнаступаетmраз:

(формула Бернулли):

(11.2),

где - число сочетаний изmэлементов вn.

Пример: ;

.

Вероятность того, что в результатеnнезависимых опытов событиеАпроизойдет хотя бы один раз (может и больше):Р_n(A)= 1 -qⁿ,

где q- вероятность непоявления событияАв первом испытании;

qⁿ- вероятность того, чтоАне произойдет ни разу;

1 - qⁿ- вероятность того, чтоАпроизойдет один раз, или два раза ... или всеnраз.

Пример.СобытиеА- разрушение здания в сейсмическом районе,p= 0,1 - вероятность разрушения его в течение первого года. Тогдаq=1 -p- вероятность неразрушения в течение первого. ТогдаР₂(А)=1-0.9²=0.19,Р₃(А)=1-0.9³=0.271,Р₁₀(А)=1-0.9¹⁰=0.651,Р₂₀(А)=1-0.9²⁰=0.878,Р₅₀(А)=1-0.9⁵⁰=0.995, гдеP_n(A)– вероятности разрушения здания заnлет.

Т.о. функция надежности (зависимость вероятности неразрушения от пройденного количества лет) от значения 1 асимптотически приближается к ОХ.