1.6.2 Весовая функция.Описывает реакцию системы на входное воздействие в виде единичной, ступенчатой функции при нулевых начальных условиях.
(20)
t, ч
Рисунок 6 - Весовая функция
1.6.3 Амплитудо-частотная характеристика.Показывает зависимость амплитуды от частоты.
(21)
2,4×10-4
1,7×10-4
2,4×10-5
ωр
ω2
ωср
ω1
ω, с-1
Рисунок 7 – Амплитудочастотная характеристика
По графику амплитудо-частотной характеристики определим косвенные оценки качества системы (объекта управления).
1. Показатель колебательности:
,
,
.
2. Резонансная частота:
.
3. Полоса пропускания частот :
,
.
4.
Частота среза при
:
.
1.6.4 Фазово-частотная характеристика
объекта управления.Характеризует
зависимость сдвига фаз в зависимости
от частоты.
(22)
ω, с-1
Рисунок 8 - Фазовочастная характеристика
2 РАСЧЕТ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА
2.1 Определение спектральной плотности
По заданной корреляционной функции /23/ определим спектральную плотность:
(23)
Спектральная плотность случайного сигнала:
(24)
Построим
график спектральной плотности:
ω, с-1
Рисунок 9 – Спектральная плотность
2.2 Определим передаточную функцию формирующего фильтра
Для этого определим корни числителя и знаменателя функции описывающей спектральную плотность (выражение /24/) и выполним выборку по корням для того, чтобы сформировать устойчивый фильтр.
2.2.1 Определение корней,найдем корни числителя и знаменателя:
(25)
Корни:
(26)
Im
Re
Рисунок 10 – Корни на комплексной плоскости
2.2.2 Выполним выборку по полученным корням. Выберем корни, лежащие в верхней полуоси:
условия для этого
Данным условиям удовлетворяют корни:
2.2.3 Сформируем выражение для передаточной функции формирующего элемента:
(27)
Так
как сомножитель знаменателя
получается из уравнения
/26/, то заменим его этим уравнением.
(28)
Преобразуем от jω к p:
(29)
Получена передаточная функция формирующего фильтра.
3 РАСЧЕТ СИСТЕМЫ ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ-ФОРМИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР
3.1 Синтез системы объект управления - формирующий фильтр
Синтезируем систему вида:
Рисунок 11 – Структурная схема системы объект управления – формирующий фильтр
3.2 Определение общей передаточной функции системы
Так как объект управления и формирующий фильтр соединены последовательно (рисунок 10), то общая передаточная функция системы будет иметь вид:
(30)
3.2.1 Анализ устойчивости системы объект управления – формирующий фильтр. Проведем анализ устойчивости методом Ляпунова. Определим корни характеристического уравнения:
, (31)
полученного из выражения /30/.
Корни равны:
(32)
(33)
Корни:
(34)
Im
Re
Рисунок 12 - Корни на комплексной плоскости
Получено 6 чисто действительных корней (4 положительных и 2 отрицательных) и 4 комплексно сопряженных. Из полученного набора корней следует, что синтезированная система неустойчива.
3.3 Построение общей переходной функции
(35)
t, ч
Рисунок 13 - Переходная функция системы
3.3.1 Анализ прямых оценок качества.Так как система неустойчива, то проведение анализа прямых оценок качества не представляется возможным.
3.4 Построение общей весовой функции
(32)
t, ч
Рисунок 14 – Весовая функция системы
3.5 Построение общей амплитудо-частотной характеристики
(33)
3,7×10-7
2,6×10-7
3,7×10-8
ω1
ωр
ω2
ωср
ω, с-1
Рисунок 14 – Амплитудо-частотная характеристика
3.5.1 Анализ косвенных оценок качества системы.Несмотря на то, что система неустойчива, мы в состоянии провести косвенные оценки качества.
1. Показатель колебательности:
,
,
.
2. Резонансная частота:
.
3. Полоса пропускания частот :
,
.
4.
Частота среза при
:
.
3.6 Построение общей фазово-частотной характеристики
.
ω, с-1
Рисунок 15 – Фазово-частотная характеристика
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Так как рассматриваемая система и до и после включения в нее формирующего фильтра является неустойчивой, то сложно оценить изменение состояния системы после включения в нее формирующего фильтра. Однако, если предположить, что система устойчива, то можно провести сравнительный анализ по косвенным оценкам качества (сводная таблица прил. А).
После включения в систему формирующего фильтра:
- в 103 уменьшилась резонансная амплитуда, что снизит ее колебательность;
- на 36% уменьшилась полоса пропуская частот, что уменьшит влияние помех на систему, однако может снизить быстродействие;
- на 27% уменьшился диапазон среза, что уменьшит время переходного процесса и увеличит быстродействие системы.
Примечание: данные выводы справедливы при допущении, что система устойчива.