Исходные данные

Рисунок 1 – Принципиальная электрическая схема объекта управления

R₁=355

R₂=448

R₃=133

R₄=165

R₆=351

L₁=25

L₃=50

C₁=36017

C₂=19885

Входная величина: e(t)

Выходная величина: i₁

1 Построение математической модели объекта управления в пространстве состояния

Рисунок 2 – Структурная схема объекта управления

1.1 Составление уравнений по 2-ому закону Кирхгофа

Рассмотрим принципиальную электрическую схему объекта правления (рисунок 1) и составим по ней систему уравнений по 2ому закону Кирхгофа для контуров в дифференциальной форме:

(1)

1.2 Линеаризация системы уравнений

Избавимся от интегралов в 1-ом и 4-ом уравнениях системы /1/, увеличив степень дифференцирования:

(2)

Уменьшим степень дифференциалов системы /2/ и введем фиктивные переменные:

(3)

Выразим токи через фиктивные переменные:

(4)

Вычислим производные от фиктивных переменных:

(5)

По полученной системе уравнений и уравнению для выходной величины объекта регулирования запишем математическую модель в нормальной форме Коши для уравнения наблюдения уравнения выходной величины объекта:

Подставив численные значения величин, составим матрицу:

(6)

(7)

(8)

(9)

1.3 Построение графа и структурной схемы объекта управления

По полученной математической модели построим граф объекта управления

Рисунок 3 - Сигнальный граф объекта управления

Построим структурную схему объекта управления:

Рисунок 4 – Функциональная схема объекта управления

1.4 Определение передаточной функции объекта управления.

По рисунку 3 определим все возможные пути прохождения сигнала и рассчитаем их передаточные коэффициенты:

(10)

,

.

Определим все возможные контуры (рисунок 3) и рассчитаем их передаточные коэффициенты:

(11)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

Определим передаточную функцию объекта управления по формуле Мейсона. Для этого рассчитаем определитель графа и все соопределители графа.

Определитель графа:

(12)

Соопределители графа:

(13)

(14)

Передаточная функция, по формуле Мейсона, равна:

, (15) где - определитель графа;- сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров имеющихся в графе;- сумма произведений коэффициентов передачи двух не касающихся контуров; - сумма произведений трех не касающихся контуров; – сумма коэффициентов передачи прямых путей от входа к выходу;– соопределитель графа.

(16)

1.5 Анализ устойчивости системы.

Проведем анализ устойчивости системы (объекта управления) методом Ляпунова. Для этого определим корни характеристического уравнения, полученного из выражения /16/. Характеристическое уравнение имеет вид:

(17)

Найдем корни этого уравнения:

(18)

Полученные корни – действительные с различными знаками, что свидетельствует о неустойчивости системы (объекта управления).

1.6 Временные и частотные характеристики объекта управления.

Используя полученную в предыдущем пункте передаточную функцию объекта управления, построим временные и частотные характеристики

1.6.1 Переходная функция. Описывает реакцию системы на входное воздействие в виде функции Хевисайда при нулевых начальных условиях.

(19)

t, ч

Рисунок 5 – Переходная функция объекта управления

По виду графика переходного процесса можно также судить о неустойчивости системы (объекта управления). График имеет вид бесконечно возрастающей по экспоненте кривой. Данный вид графика не позволяет определить прямые оценки устойчивости.