11.4. Задание на лабораторную работу №12 «Оценка моделей с распределёнными лагами с помощью схемы Койка»

Для построения данной модели мы располагаем некоторыми статистическими данными по Алтайскому краю, приведёнными в таблице 1, в которой приняты следующие обозначения:

I_t – инвестиции за t-й период времени;

Y_t – объём валового регионального продукта (ВРП) в регионе за t-й период времени.

Таблица 1

t	It	Yt
1	3000	13800
2	3000	13800
3	3000	13800,69
4	2700,48	13043,48
5	2800	13298
6	3200	13228
7	3289	13688,16
8	2500	13335
9	2560,54	12626,27
10	2760	14614
11	2680	14444
12	1700	9887
13	1890,231	9570,231
14	2000	9781,08
15	1984	9975,847
16	1780,378	10712,38
17	1900	11161
18	1900	12181,15
19	1973	11986,26
20	2000,907	11353,51
21	2200	13524
22	2389	13769,06
23	2500	13800
24	1680	13019,74
25	1716	14045
26	2269,672	15210,67
27	2100	15037
28	1731,3	14588,8
29	2034,9	16876,9
30	2728,3	17671,4
31	3310,4	16843,4

Шаг 1. Скопировать таблицу 1 на лист MS Excel. С помощью обычного МНК для преобразования Койка (11.10) определить значения коэффициентов , ₀, и .

Шаг 2. На их основе вычислить коэффициенты системы с распределенными лагами (11.9) ограничившись конечным количеством лагов (например, к = 5).

Шаг 3. Определите, какое из выражений (11.10) или (11.9) (для к = 6) наиболее точно приближает Y_t. Для этого вычислите сумму квадратов отклонений реальных данных от теоретических (модельных).

11.5. Полиномиально распределенные лаги Алмон

При использовании преобразования Койка для уравнения (11.1) на коэффициенты регрессии накладываются достаточно жесткие ограничения. Предполагается, что «веса» коэффициентов при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии. В ряде случаев такое предположение весьма уместно, в некоторых других оно не выполняется. Встречаются ситуации, когда значения лаговой объясняющей переменной за 3- 4 периода от момента наблюдения оказывают на зависимую переменную большее влияние, чем текущее или предшествующее ему значение объясняющей переменной (b₃, b₄ > b₀, b₁). Pacnpeделённые лаги Ш. Алмон (Shirley Almon) позволяют достаточно гибко моделировать такие изменения.

В основе модели Алмон лежит предположение, что «веса» коэффициентов b_i в модели (11.1) могут аппроксимироваться (приближаться) полиномами определенной степени от величины лага:

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i² + …+ a_m*i^m. (11.13)

Это позволяет, например, отразить ситуации, изображенные на рисунке 11.2.

а б в

Рис. 11.2. Виды зависимостей в модели Ш. Алмон

Например, на рисунках 11.2а, 11.2б это может быть квадратичная зависимость:

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i². (11.14)

На рисунке 11.2,в это может быть полином третьей либо четвертой степени:

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i² + a_3*i³, (11.15)

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i² + a_3*i³ + a_4*i⁴. (11.16)

Для простоты изложения схемы Алмон положим, что b_i подчиняется зависимости (11.14). Тогда (11.1) может быть представлено в виде:

y_t =  + (a₀ + a₁i + a₂i²)·x_t-i + _t=

=(11.17)

Положив

, ,,

имеем

y_t =  + a0z_t0 + a1z_t1 + a2z_t2 + _t. (11.18)

Значения , a0, a1, a2 могут быть определены по МНК. При этом случайные отклонения _t удовлетворяют предпосылкам МНК. Коэффициенты b_i определяются из соотношения (11.14). Отметим, что для применения схемы Алмон необходимо вначале определиться с количеством лагов k. Обычно это количество находится подбором, начиная с «разумного» максимального, постепенно его уменьшая. После определения k необходимо подобрать степень m полинома (11.13). Обычно здесь используется следующее правило: степень полинома должна быть, по крайней мере, на единицу больше количества точек «экстремума» (точек, разделяющих интервалы возрастания и убывания) в зависимости b_i = b(t–i). Однако с ростом степени полинома повышается риск наличия неучтенной мультиколлинеарности в силу специфики построения z_ti. Это увеличивает стандартные ошибки коэффициентов a_i в соотношениях, аналогичных (11.18).

Рассмотрим применение схемы Алмон при степени многочлена m = 2 и количестве лагов k = 4

y_t =  + b₀x_t +b₁x_t-1 + b₂x_t-2 + b₃x_t-3 + b₄x_t-4 + _t

Подставим полином второй степени (11.14) в это выражение

y_t =  + (a₀ + a₁i + a₂i²)x_t-i

.

Последнее выражение позволит применить МНК к соответствующим переменным y_t, z_t0, z_t1, z_t2 и найти оценки (приближения) коэффициентов , a₀ ,a₁, a₂. Далее находим b₀ = a₀, b₁ = a₀ + a₁1 + a₂1, b₂ = a₀ + a₁2 + a₂4, b₃ = a₀ + a₁3 + a₂9, b₄ = a₀ + a₁4 + a₂16.