11.2. Оценка моделей с лагами в независимых переменных

Оценка модели с распределенными лагами во многом зависит от того, конечное

y_t =  + b₀x_t +b₁x_t-1 …+ b_kx_t-k + _t,

или бесконечное число лагов она содержит.

y_t =  + b₀·x_t +b₁·x_t-1 …+ b_k·x_t-k +…+ _t. (11.3)

Отметим, что в обеих этих моделях коэффициент b₀ называют краткосрочным мультипликатором, так как он характеризует изменение среднего значения Y под воздействием единичного изменения переменной X в тот же самый момент времени.

Сумму всех коэффициентов bj называют долгосрочным мультипликатором, так как она характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения переменной X в каждом из рассматриваемых временных периодов.

Любую сумму коэффициентов (m < k) называют промежуточным мультипликатором.

Модель с конечным числом лагов (11.1) оценивается достаточно просто – сведением ее к уравнению множественной регрессии. В этом случае полагают Х₀= х_t, X_l = x_t-1, ..., X_k = x_t-k и получают уравнение

y_t =  + b₀X₀ +b₁X₁ …+ b_kX_k + _t, (11.4)

Для оценки моделей с бесконечным числом лагов разработано несколько методов.

11.2.1. Метод последовательного увеличения количества лагов.

По данному методу уравнения (11.3) рекомендуется оценивать с последовательно увеличивающимся количеством лагов. Признаков завершения процедуры увеличения количества лагов может быть несколько.

• При добавлении нового лага какой-либо коэффициент регрессии b_k при переменной x_t-k меняет знак. Тогда в уравнении регрессии оставляют переменные x_t, x_t-1, .... x_t-k+1 коэффициенты при которых знак не поменяли.

• При добавлении нового лага коэффициент b_k регрессии при переменной X_t-k становится статистически незначимым.

Очевидно, что в уравнении будут использоваться только переменные x_t, x_t-1, .... x_t-k+1 коэффициенты при которых остаются статистически значимыми.

Однако применение этого метода весьма ограничено в силу постоянно уменьшающегося числа степеней свободы, сопровождающегося увеличением стандартных ошибок и ухудшением качества оценок, а также возможности мультиколлинеарности. Кроме этого, при неправильном определении количества лагов возможны ошибки спецификации.

11.3. Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии)

В распределении Койка предполагается, что коэффициенты (известные как «веса») b_k при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

b_k = b₀*^k, k=0, 1, 2,…. (11.5)

где 0 <  < 1 характеризует скорость убывания коэффициентов увеличением лага (с удалением от момента анализа). Такое предположение достаточно логично, если считать, что влияние прошлых значений объясняющих переменных на текущее значение зависимой переменной будет тем меньше, чем дальше по времени эти показатели имели место.

В данном случае уравнение (11.3) преобразуется в уравнение

y_t =  + b₀·x_t +b₀·x_t-1 +b₀·² x_t-2 …+ b₀·^k x_t-k + …+ _t, (11.6)

Параметры данного уравнения , b₀,  можно определять различными способами. Например, достаточно популярен следующий метод. Параметру  присваиваются последовательно все значения из интервала (0, 1) с произвольным фиксированным шагом (например, 0,01; 0,001; 0,0001). Для каждого  рассчитывается

z_t = x_t +·x_t-1 +² x_t-2 …+ +^p x_t-p. (11.7)

Значение р определяется из условия, что при дальнейшем добавлении лаговых значений х величина изменения z_t менее любого ранее заданного числа.

Далее оценивается уравнение регрессии

y_t =  + b₀·z_t + _t, (11.8)

Из всех возможных значений  выбирается то, при котором коэффициент детерминации R² для уравнения (11.8) будет наибольшим. Найденные при этом параметры , ₀, и  подставляются в (11.6). Возможности современных компьютеров позволяют провести указанные расчеты за приемлемое время.

Однако более распространенной является схема вычислений на основе преобразования Койка.

Вычитая из уравнения (11.6) такое же уравнение, но умноженное на  и вычисленное для предыдущего периода времени t-1, получим

y_t-1 =  + b₀x_t-1 + b₀·² x_t-2 +…+ _t-1, (11.9)

и далее получим следующее уравнение:

y_t-y_t-1 =  -  + b₀·x_t + (b₀·x_t-1 - b₀· x_t-1 ) +…+(_t - _t-1),

отсюда

y_t= (1-) + b₀·x_t +y_t-1+v_t, (11.10)

где v_t = _t - _t-1 — скользящая средняя между _t и _t-1.

Преобразование по данному методу уравнения (11.3) в уравнение (11.10) называется преобразованием Койка.

Отметим, что с помощью указанного преобразования уравнение с бесконечным числом лагов (с убывающими по степенному закону коэффициентами) преобразовано в авторегрессионное уравнение (11.10), для которого требуется оценить лишь три коэффициента: , b₀, . Это, кроме всего прочего, снимает одну из острых проблем моделей с лагами — проблему мультиколлинеарности.

Модель (11.10) позволяет анализировать краткосрочные и долгосрочные свойства переменных. В краткосрочном периоде можно значение y_t-i рассматривать как фиксированное и краткосрочный мультипликатор считать равным b₀. Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если предположить, что в долгосрочном периоде x_t стремится к некоторому своему равновесному значению х*, то значения y_t и y_t-i также стремятся к своему равновесному значению у*. Тогда (11.10) без учета случайного отклонения примет вид

y*= (1-) + b₀·x* +y*. (11.11)

Следовательно,

. (11.12)

Нетрудно заметить, что в силу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

полученная дробь является долгосрочным мультипликатором, который отражает долгосрочное воздействие X на Y. При 0 <  < 1 долгосрочное воздействие будет сильнее краткосрочного (так как ).

При применении преобразования Койка возможны следующие проблемы:

• среди объясняющих переменных появляется переменная y_t-1, которая, в принципе, носит случайный характер, что нарушает одну из предпосылок МНК. Кроме того, данная объясняющая переменная, скорее всего, коррелирует со случайным отклонением v_t;

• если для случайных отклонений _t, _t-1 исходной модели выполняется предпосылка 3⁰ МНК, то для случайных отклонений v_t очевидно, имеет место автокорреляция. Для ее анализа вместо обычной статистики DW Дарбина–Уотсона необходимо использовать h-статистику Дарбина;

• при указанных выше проблемах оценки, полученные по МHK, являются смещенными и несостоятельными.