14.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Ряд , в котором все, называется положительным. Для такого ряда последовательность частичных сумм является неубывающей. Для того чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Рассмотрим следующие достаточные признаки сходимости положительных рядов.

1. Признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами ии для всехвыполняется неравенство. Тогда из сходимости рядаследует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Например, исследовать сходимость ряда

,

для этого ряда необходимый признак сходимости выполняется. Сравним данный ряд с рядом, полученным из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем:

,

который будет сходиться.

Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов взятого сходящегося ряда

,,

то на основании признака сравнения ряд сходится.

2. Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел отношения-го члена кn-му члену. Тогда: 1) приk < 1 ряд сходится; 2) приk > 1 ряд расходится. Приk= 1 рядможет как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других достаточных признаков.

Например, исследовать сходимость ряда , где. Проверим необходимое условие. Найдем

Применяя признак Даламбера, получаем, что:

.

Так как k < 1, то ряд сходится.

3. Интегральный признак. Пусть дан ряд

,

члены этого ряда есть значения некоторой функции f(x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале. Тогда, еслисходится, то сходится и ряд, если жерасходится, то рядрасходится.

С помощью этого признака можно показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при значенияхи расходится при значениях.

Контрольные вопросы

1. Что называется числовым рядом?

2. Какой ряд называется сходящимся? Приведите примеры.

3. Перечислите свойства сходящихся рядов.

4. В чем состоит необходимое условие сходимости ряда?

5. Сформулируйте признак сравнения сходимости рядов с положительными элементами.

6. В чем состоит признак Даламбера сходимости рядов с положительными элементами?

7. Сформулируйте интегральный признак сходимости рядов с положительными элементами.