Задание 6. С использованием коэффициента ранговой корреляции определить тесноту связи между показателями фонд заработной платы и среднегодовая стоимость основных фондов.

Коэффициент ранговой корреляции – это показатель, характеризующий статистическую связь двух признаков, измеряемых в порядковой шкале. Для признаков, измеренных в порядковых шкалах, наиболее известным является коэффициент ранговой корреляции Спирмена, который рассчитывается по формуле:

p=1-=1-

Где:

d_k – разность k-го объекта,

n – количество объектов,

i_k1, i_k2 – ранги k-го объекта соответственно по первому и второму признаку.

Индивидуальные значения признаков располагаются в порядке возрастания (убывания) и устанавливаются ранги (порядковые номера величины признаков).

Результаты представлены в Таблице 7.

Таблица 7. Распределение рангов и их разности

Но-мер пред-прия-тия	Фонд заработной платы	Среднегодо-вая стоимость основных фондов,	ранг предприятий по ФЗП	ранг предприятий по среднегодовой стоимости ОФ	dk	dk2
	млн руб.	млн руб.
1	33,6	180,1	1	3	2	4
2	63,2	294,5	3	6	3	9
3	241	420,8	16	12	-4	16
4	275,3	469,7	19	15	-4	16
5	159,7	426,9	12	13	1	1
6	209	552,4	15	19	4	16
7	251,8	664,6	1	20	19	361
8	286,3	784,2	21	21	0	0
9	149,3	341,8	11	8	-3	9
10	93,4	438	9	14	5	25
11	406,9	825,4	23	22	-1	1
12	80,6	179,8	7	2	-5	25
13	278,2	551,5	20	17	-3	9
14	70,9	323,4	4	7	3	9
15	92	354,2	8	9	1	1
16	260,8	551,9	18	18	0	0
17	71,6	228,3	5	5	0	0
18	191	367,4	14	10	-4	16
19	450,9	930,3	25	25	0	0
20	120,5	179,6	10	1	-9	81
21	79,7	404,8	6	11	5	25
22	175,5	473,3	13	16	3	9
23	38,1	180,4	2	4	2	4
24	417,4	828,3	24	23	-1	1
25	343,9	862,8	22	24	2	4
ИТОГО							642

р==1-0.247=0.753

Вывод: величина коэффициента ранговой корреляции говорит о том, что связь между фондом заработной платы и среднегодовой стоимостью основных фондов прямая тесная, т.к. чем ближе по абсолютной величине коэффициент корреляции рангов к 1, тем теснее связь.

Задание 7. Определить тесноту парной связи и форму связи с использованием корреляционно-регрессионного анализа между признаками.

7.1. В качестве исходной информации использовать индивидуальные значения признаков по предприятиям.

Линейная зависимость

y=a0+a1*x

Данный вид зависимости описывается уравнением:

Для определения параметров a₀ и a₁ на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Где:

x_i, y_i – индивидуальное значение соответственно факторного и результативного признаков;

a₀, a₁ – параметры уравнения регрессии.

Из решения системы уравнений получаются следующие параметры уравнения регрессии.

Составим вспомогательную таблицу для нахождения параметров уравнения (Таблица №8).

Таблица 8. Вспомогательная таблица для нахождения параметров уравнения

Но-мер пред-прия-тия	Фонд заработной платы	Среднегодо-вая стоимость основных фондов,	x2i	xi*yi	y2i
	млн руб.	млн руб.
1	33,6	180,1	1128,96	6051,36	32436,01
2	63,2	294,5	3994,24	18612,4	86730,25
3	241	420,8	58081	101412,8	177072,6
4	275,3	469,7	75790,09	129308,4	220618,1
5	159,7	426,9	25504,09	68175,93	182243,6
6	209	552,4	43681	115451,6	305145,8
7	251,8	664,6	63403,24	167346,3	441693,2
8	286,3	784,2	81967,69	224516,5	614969,6
9	149,3	341,8	22290,49	51030,74	116827,2
10	93,4	438	8723,56	40909,2	191844
11	406,9	825,4	165567,6	335855,3	681285,2
12	80,6	179,8	6496,36	14491,88	32328,04
13	278,2	551,5	77395,24	153427,3	304152,3
14	70,9	323,4	5026,81	22929,06	104587,6
15	92	354,2	8464	32586,4	125457,6
16	260,8	551,9	68016,64	143935,5	304593,6
17	71,6	228,3	5126,56	16346,28	52120,89
18	191	367,4	36481	70173,4	134982,8
19	450,9	930,3	203310,8	419472,3	865458,1
20	120,5	179,6	14520,25	21641,8	32256,16
21	79,7	404,8	6352,09	32262,56	163863
22	175,5	473,3	30800,25	83064,15	224012,9
23	38,1	180,4	1451,61	6873,24	32544,16
24	417,4	828,3	174222,8	345732,4	686080,9
25	343,9	862,8	118267,2	296716,9	744423,8
Итого	4840,6	11814,4	1306064	2918324	6857727

а₀=141,421

а₁=1,711

y=141.421+1.711*x

Т.к. а₁>0, то связь между исследуемыми признаками является прямой, т.е. увеличение факторного признака влечет за собой увеличение и результативного признака.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который определяется по формуле:

rxy=

r_xy=

Величина линейного коэффициента корреляция 0,9199 говорит о наличии тесной прямой связи между фондом заработной платы и среднегодовой стоимостью основных фондов.

Так же наличие этой связи можно рассмотреть на графике:

При подборе адекватной математической функции важное значение имеет остаточная дисперсия результативного признака.

ƃi2=

Где:

y_i, y_xi – соответственно эмпирическое (фактическое) и выровненные значения результативного признака.

Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше подбор линии регрессии, т.к. эта линия должна проходить в максимальной близости от эмпирических данных. Таким образом, сравним остаточную дисперсию двух видов зависимостей, мы сможем сделать вывод о том, какая их них подходит больше.

Рассчитаем остаточные дисперсии результативного признака для степенной зависимости.

Расчётная таблица для определения дисперсии результативного признака (Таблица 9).

Таблица 9. Определение дисперсии результативного признака

Номер пред-приятия	Фонд заработной платы	Среднегодо-вая стоимость основных фондов,	Y(x)	(Y-Y(x))2
	млн руб.	млн руб.
1	33,6	180,1	198,911	353,839
2	63,2	294,5	249,556	2019,945
3	241	420,8	553,772	17681,553
4	275,3	469,7	612,459	20380,218
5	159,7	426,9	414,668	149,629
6	209	552,4	499,020	2849,424
7	251,8	664,6	572,251	8528,375
8	286,3	784,2	631,280	23384,435
9	149,3	341,8	396,873	3033,068
10	93,4	438	301,228	18706,471
11	406,9	825,4	837,627	149,497
12	80,6	179,8	279,328	9905,743
13	278,2	551,5	617,421	4345,605
14	70,9	323,4	262,731	3680,740
15	92	354,2	298,833	3065,505
16	260,8	551,9	587,650	1278,048
17	71,6	228,3	263,929	1269,397
18	191	367,4	468,222	10165,076
19	450,9	930,3	912,911	302,381
20	120,5	179,6	347,597	28222,824
21	79,7	404,8	277,788	16132,124
22	175,5	473,3	441,702	998,465
23	38,1	180,4	206,610	686,969
24	417,4	828,3	855,592	744,875
25	343,9	862,8	729,834	17679,984
Итого		11814,4		195714,189

ƃ_i²==7825,5676

Степенная зависимость

y=a0*xa1

Данный вид зависимости описывается уравнением:

Для определения параметров производится логарифмирование степенной функции:

lg y=lg a0+a1 lg x

Для определения параметров логарифмической функции строится система нормальных уравнений по способу наименьших квадратов:

Составим вспомогательную таблицу для нахождения параметров уравнения (Таблица 10).

Таблица 10. Вспомогательная таблица для нахождения параметров уравнения.

Номер пред-приятия	Фонд заработной платы	Среднегодо-вая стоимость основных фондов,	lg x	(lg x)2	lg y	lg y*lg x
	млн руб.	млн руб.
1	33,6	180,1	1,526339277	2,32971159	2,255513713	3,442679171
2	63,2	294,5	1,800717078	3,242581996	2,469085299	4,446124066
3	241	420,8	2,382017043	5,674005191	2,624075731	6,250593113
4	275,3	469,7	2,439806211	5,952654349	2,67182056	6,518724398
5	159,7	426,9	2,203304916	4,854552553	2,630326155	5,795410548
6	209	552,4	2,320146286	5,383078789	2,74225367	6,362429668
7	251,8	664,6	2,401055726	5,765068598	2,822560337	6,777124658
8	286,3	784,2	2,456821348	6,035971136	2,894426838	7,111089646
9	149,3	341,8	2,174059808	4,726536048	2,533772058	5,508571994
10	93,4	438	1,970346876	3,882266813	2,641474111	5,204620262
11	406,9	825,4	2,60948769	6,809426003	2,916664465	7,611000016
12	80,6	179,8	1,906335042	3,634113292	2,254789687	4,298384593
13	278,2	551,5	2,444357126	5,974881758	2,741545517	6,701316319
14	70,9	323,4	1,850646235	3,424891488	2,509740016	4,644640911
15	92	354,2	1,963787827	3,856462631	2,549248557	5,006183285
16	260,8	551,9	2,416307587	5,838542355	2,741860394	6,625178073
17	71,6	228,3	1,854913022	3,44070232	2,358505911	4,374823328
18	191	367,4	2,281033367	5,203113222	2,565139152	5,851167997
19	450,9	930,3	2,654080235	7,044141895	2,968623021	7,878963686
20	120,5	179,6	2,080987047	4,330507089	2,254306332	4,691182277
21	79,7	404,8	1,901458321	3,615543748	2,607240504	4,957559152
22	175,5	473,3	2,244277121	5,036779795	2,675136504	6,003747652
23	38,1	180,4	1,580924976	2,499323779	2,256236533	3,566940686
24	417,4	828,3	2,620552445	6,867295116	2,918187661	7,64726381
25	343,9	862,8	2,536432176	6,433488183	2,935910136	7,446736935
Итого	4840,6	11814,4	54,62019479	121.86	65,53844286	144.72

lg a₀=1.287272

a₀=22,756351

a₁=0,61

lg y=1,287272+0,61*lg x

y=22,756351*x^0,61

При парных нелинейных зависимостях для определения тесноты связи между результативным и факторным признаками и оценки степени влияния факторного признака на результативный используются индексы корреляции и детерминации.

rxy=

Индекс корреляции:

Где:

ƃ²_yx – факторная дисперсия результативного признака y;

ƃ²_y – общая дисперсия результативного признака.

Величина индекса корреляции находится в пределах от -1 до +1. Чем ближе по абсолютной величине индекс корреляции к 1, тем теснее связь.

Факторная дисперсия рассчитывается следующим образом:

ƃ2yx=

Где:

y_xi – теоретическое значение результативного признака (значение линии регрессии) при значении факторного признака x_i;

ƃ2y=

ẏ - среднее значение результативного признака.

Общая дисперсия результативного признака:

Где:

y_i – эмпирическое значение результативного признака.

By=r2xy=

Индекс детерминации:

Показывает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака у объясняется изучаемым фактором х.

Таблица 11.

Номер пред-приятия	Фонд заработной платы	Среднегодо-вая стоимость основных фондов,	yxi	(yxi-ẏ)2	(yi-ẏ)2	(yi-yxi)2
	млн руб.	млн руб.
1	33,6	180,1	192,46	78466,13	85542,21	152,72
2	63,2	294,5	282,95	35958,87	31711,06	133,45
3	241	420,8	640,18	28089,69	2680,75	48125,73
4	275,3	469,7	694,31	49163,99	8,27	50447,65
5	159,7	426,9	498,06	649,62	2086,30	5064,26
6	209	552,4	586,89	13068,11	6371,87	1189,69
7	251,8	664,6	657,53	34206,45	36873,22	50,04
8	286,3	784,2	711,10	56893,06	97109,52	5343,80
9	149,3	341,8	478,02	29,63	17102,36	18555,67
10	93,4	438	359,07	12883,36	1195,50	6229,77
11	406,9	825,4	881,16	166943,47	124484,77	3109,53
12	80,6	179,8	328,20	20845,60	85717,79	22021,36
13	278,2	551,5	698,76	51158,22	6229,00	21684,87
14	70,9	323,4	303,50	28585,67	22253,48	395,89
15	92	354,2	355,78	13641,71	14012,88	2,49
16	260,8	551,9	671,76	39675,70	6292,30	14367,28
17	71,6	228,3	3050,33	27972,09	59670,76	5933,22
18	191	367,4	555,52	6879,60	11061,99	35388,89
19	450,9	930,3	938,12	216729,99	209511,26	61,13
20	120,5	179,6	419,44	2823,32	85834,94	57523,73
21	79,7	404,8	325,96	21497,55	4593,59	6216,44
22	175,5	473,3	527,57	3024,05	0,52	2944,94
23	38,1	180,4	207,79	70109,49	85366,81	750,43
24	417,4	828,3	894,96	178412,09	126539,56	4444,16
25	343,9	862,8	795,23	104105,27	152274,77	4565,78
Итого	4840,6	11814,4	13309,6366	1261812,74	1274525,49	314702,96

ẏ=472,58

ƃ²_yx==50472,5096

ƃ²_y==50981.021

r_xy==0,9950002

B_y=r²_xy=0,990025

Вывод: данный полученный индекс корреляции свидетельствует о том, что связь тесная между фондом заработной платы и среднегодовой стоимостью основных фондов.

Рассчитаем остаточную дисперсию результативного признака:

ƃ²_е===12588.118

Сравним индекс корреляции результативного признака у линейной и степенной зависимости. У линейной зависимости он равен 0,9199, а у степенной 0,990025. Чем больше индекс корреляции, тем лучше подбор линии регрессии. Таким образом, надо выбрать степенной вид зависимости. Эти линии должны проходить в максимальной близости от эмпирических данных.

Так же это можно рассмотреть на графике, где изображены исследуемые виды зависимостей.