Задание 2. Точки равновесия

Задание:

1. Определить устойчивость точек равновесия системы.

2.Найти точку равновесия системы и определить её тип.

3. Найти точки равновесия системы и определить их тип..

Вариант
7	5	1	-16	-3

dx/dt=(5-x)(1+x)(-16+x)(-3+x)

Получим корни:

x1=5; x2=-1; x3=16; x4=3.

y

x

5

16

3

-1

Точки:

-1– неустойчивая точка;

3 – устойчивая точка;

5– неустойчивая точка;

16– устойчивая точка.

2.Найти точку равновесия системы и определить её тип.

Корни: x= 0, y = 0.

Получаем коэффициенты:

a=5, b=1, c=-16, d=-3

Строим матрицу:

–не устойчивый узел

3. Найти точки равновесия системы и определить их тип..

Получили корни:

x1=5, y1=-4

x2=4, y2=-3

Для первой точки:

Получили коэффициенты: a=1, b=1, c=-1, d=0

- неустойчивый фокус

Для второй точки:

Получили коэффициенты: a=1, b=1, c=0, d=-1

- седловая точка

Задание 3. Моделирование динамических систем.

Задание:

Дана система

• найти точки равновесия

• исследовать их тип

• построить фазовые траектории

_{x = 0.4472136 y = 2.236068}

1. x₁ = -1, y₁ = 0

A =

4.472136 - 4.472136

0.4472136 2.236068

spec(A)

ans =

3.354102 + 0.8660254i

3.354102 - 0.8660254i

–неустойчивый фокус

Построим фазовые траектории:

function dy=syst(t, x)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=4+5*x(1)^2-x(2)^2;

dy(2)=x(1)*x(2)-1;

endfunction

N=100;

rs=1;

df=2*%pi/(N-1);

for i=1:N

xn=xs1+rs*cos(df*(i-1));

yn=ys1+rs*sin(df*(i-1));

x0=[xn;yn];t0=0;t=0:0.001:0.1;ym=ode(x0,t0,t,syst);

xf=ym(1,:);

yf=ym(2,:);

plot(xf,yf)

end

C инверсным параметром t:

Заключение

К настоящему времени круг вопросов, связанных с разработкой и использованием численных методов, а также с построением на их основе вычислительных алгоритмов, выделился в самостоятельный быстро развивающийся и обширный раздел — вычислительную математику.

Если при численном подходе дискретизации подвергалась полученная система математических соотношений, то при имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы. Модели отдельных элементов могут быть как анали­тическими, так и алгебраическими.

Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анализа результатов моделирования. Так как применение моделей данного типа возможно лишь при наличии вычислительной техники, то их эффективность зависит от мощности и быстродействия ЭВМ. Несомненным достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности.

Использование математической модели, построенной алгоритмическими методами, аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, только вместо реального эксперимента с объектом проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Задаваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находим конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Для исследования поведения объекта при новом наборе исходных данных необходимо проведение нового вычислительного эксперимента.