1. Метод обратной функции

Основная идея: представим и попробуем найти. Допустим, что мы разрешили относительно:. И потребуем, чтобы. Тогда

Т.к. равномерно распределена в [0,1), то иравномерно распределена там же, следовательно, можно записать и так :.

Метод обратной функции применяется редко, т.к. обычно найти очень трудно.

Примеры:

Экспоненциальное распределение: 

1. Непрерывные случайные величины с заданной гистограммой:

Общая площадь  Функция распределения:  или . Чтобы найти формулу, решим уравнение 

1. .Отнимаем от него , затеми т.д. до тех пор, пока не получим отрицательное значение:

2. Ясно, что . Следовательно,.

2. Метод суперпозиции

Применим в случае, если , где,и.

Тогда моделирование производится следующим образом:

1. Генерируется дискретная случайная величина с рядом

2. Генерируется непрерывная случайная величина с плотностью

Пример. Гиперэкспоненциальное распределение.

Моделирование:, где- смоделирована как дискретная случайная величинас рядом.

3. Метод исключения

Пусть некоторая функция удовлетворяет условиям:

1. 

2. 

Теорема. Пусть некоторая двумерная случайная величина имеет следующую совместную плотность распределения Тогда СВ имеет плотность распределения Доказательство:

Т. о., если требуется моделировать случайную величину с плотностью , то принимаем, тогда.Т.е. достаточно генерировать двумерную, равномерно распределенную в областипод, и тогдабудет иметь распределение.

Осталось научиться равномерно попадать под кривую (область). Оказывается, это очень просто: достаточно равномерно попадать в некоторуюи рассматривать только те точки, которые- они будут равномерно распределены в.

Например, если ,, то легче всего взятьи.

Далее применяем метод исключения, т.е результатом моделирования считаем только те , для которых, остальные пропускаем:

4. Нормальные случайные величины

Нормальная случайная величина:: Стандартная нормальная случайная величина:  Любая нормальная случайная величина: , где Таким образом достаточно получить датчик стандартной нормальной случайной величины.

Методы:

1. Метод суммирования

/* ЦПТ: Для независимых случайных величин произвольным распределением

.*/

Пусть ясно, что,. ТогдаЕсли взять, то получим

Существуют более точные формулы, типа . В частности, для:

2. Метод обратной функции - интеграл вероятностей или функция Лапласа. Свойство:Метод обратной функции:

Очевидно, что 

Т. о. заменяют аппроксимациями, например:

где  (Погрешность=0.003).

Задание 1. Метод Монте – Карло.

Основывается на теореме о среднем: если на отрезке задана некоторая непрерывная интегрируемая функциято найдется такая точка, принадлежащая этому отрезку, что справедлива формула

(8.11)

Т.е. площадь криволинейной трапеции можно заменить площадью прямоугольника, одной из сторон которого является отрезок, а численное значение другой стороны —(рис.1).

Выберем на отрезке случайных точекМожно

показать, что при достаточно большом выполняется условие

т.е. — среднее между ординатами случайно выбранных точек

— количество испытаний (случайных выборок).

Рис.1

Для двойного интеграла метод Монте-Карло дает следующую формулу интегрирования:

(8.12)

где — оценкадляслучайных выборок;

—независимые случайные числа на отрезках

Метод Монте-Карло, как и классические методы, дает приближенные результаты. Погрешность метода Монте-Карло

(8.13)

В отличие от классических методов эта погрешность не зависит от вида подынтегральной функции и от кратности интеграла. Заметим, что ошибку можно сделать сколь угодно малой, увеличивая число испытаний .

Метод Симпсона

Интегрирование по методу Симпсона. Формула трапеций дает результат, сильно зависящий от величины шага h, что сказывается на точности вычисления определенного интеграла особенно в тех случаях, когда функция имеет немонотонный характер. Можно предположить повышение точности вычислений, если вместо отрезков прямых, заменяющих криволинейные фрагменты графика функции f(x), использовать, например, фрагменты парабол, проводимых через три соседних точки графика. Подобная геометрическая интерпретация лежит в основе метода Симпсона для вычисления определенного интеграла. Весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на четное число одинаковых отрезков n, длина отрезка также будет равна h=(b-a)/n. Формула Симпсона имеет вид: