2.3. Случайные погрешности

Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения , изменяющаяся случайным образом по знаку и значению в серии повторных измерений одной и той же физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей нет никакой закономерности, они неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Описание случайной погрешности возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики. В отличие от систематических, случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений за счет введения поправки, однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. На проведение измерений обычно оказывает влияние большое число случайных факторов, примерно одинаковых по величине, на малых по сравнению с общим воздействием. В этом случае в качестве математической модели для описания распределения результатов измерений правомерно применение нормального закона распределения.

Для нормального закона плотность вероятности равна

P(x) = exp - ,

где - параметр рассеивания распределения, равный среднему квадратическому отклонению (СКО);

- центр распределения, равный среднему арифметическому значению или математическому ожиданию.

На практике применяется так называемое нормированное нормальное распределение. Оно получается при введении новой переменной

t = (x - )/ .

Подставляя t в приведенную формулу плотности вероятности, получаем нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

F(t) = e^{- 0,5t}dt ;p(t) = dF/dt = e^{- 0,5t}.

Нормирование приводит к переводу начала координат в центр распределения и выражения абсциссы в долях среднеквадратического отклонения . Значения этих функций можно найти в таблицах. Обычно там приводится значения определенного интеграла, называмогофункцией Лапласа:

Ф(t) = e ^{- 0,5t}dt.

Для нее справедливо: Ф(-) = -0,5; Ф(0) = 0; Ф(+) = 0,5; Ф(-t) = -Ф(t);

Функция F(t) связана с функцией Лапласа: F(t) =0,5+Ф(t).

В качестве значений результатов измерений принимают их статистические оценки.

Точечной оценкой результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины :

= х_i .

Точечная оценка дисперсии

Dx = (x_i -)² .

Среднеквадратическое отклонение случайной величины х определяется как корень квадратный из дисперсии. Оценка среднеквадратического отклонения случайной величиных обозначается S.

S = = .

Полученные оценки являются случайными величинами. При повторении серий из n измерений каждый раз будут получаться различные значения иS. Они также являются случайными величинами, стремящимися к нормальному закону распределения при n → ∞.

Среднеквадратическая погрешность среднего арифметического S является одной из основных характеристик точности измерений (см. подраздел 2.1).

Среднеквадратическая погрешность среднего квадратического отклонения S_ характеризует рассеяние среднего квадратического отклонения S измерений. Она используется значительно реже вышеуказанных, как и другие моменты распределений, и мы рассматривать ее не будем.