- •1. Метрология: основные понятия
- •1.1. Основные термины и определения
- •1.2. Методы измерений
- •1.3. Классификация измерений
- •1.4. Системы единиц физических величин
- •1.4.1. Система единиц си
- •1.5. Единство измерений
- •1.6. Эталоны.
- •1.7. Поверочные схемы.
- •2. Основные понятия теории погрешностей.
- •2.1. Основные определения
- •2.2. Систематические погрешности
- •2.3. Случайные погрешности
- •2.4. Грубые погрешности
- •3. Условия проведения измерений
- •4. Доверительная вероятность и доверительный интервал
- •5. Средства измерения
- •5.1. Структурные схемы средств измерения
- •5.2. Метрологические характеристики си
- •5.2.1. Характеристики, предназначенные для определения результатов измерений.
- •5.2.2. Характеристики погрешности.
- •6. Обработка результатов измерений
- •6.1. Прямые многократные измерения и обработка их результатов.
- •6.1.1. Прямые многократные равноточные измерения и обработка их результатов.
- •6.1.2. Прямые многократные неравноточные измерения и обработка их результатов.
- •6.2. Однократные измерения и обработка их результатов.
- •6.2.1. Однократные измерения cприближенным оцениванием результатов.
- •6.3. Обработка результатов косвенных измерений.
- •7. Выбор средств измерений
- •8. Представление результатов измерений
6.3. Обработка результатов косвенных измерений.
Косвенные измерения − это измерения, при которых искомое значение A находят на основании известной функции , где− значения, полученные при прямых измерениях. Их обработка и представление результатов проводятся в зависимости от наличия или отсутствия связи (корреляции) при проведении этих измерений.
Подход к решению задачи нахождения результата косвенных измерений заключается в разложении функции f (достаточно гладкой) в ряд Тейлора в окрестности [1-3] и учете только членов первого порядка малости.
Оценка результата косвенного измерения:
,
где − оценка результатаi − го аргумента.
Оценка СКО случайной погрешности S() результата косвенного измерения вычисляется по формуле:
S() ≈ ,
где -1 < < 1 − оценка коэффициента корреляции между погрешностями аргументов и;
−так называемые коэффициенты влияния i − го аргумента.
Корреляция между аргументами чаще всего возникает тогда, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий: температуры, влажности, помех и т.д. Точное определение обычно затруднено [1-3]. Часто рассматриваются случаи, когда имеется полная статистическая связь = 1 и ее полное отсутствие= 0.
При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S(), обусловленного случайными погрешностями, вычисляется по формуле:
S() = ,
где − среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента , рассчитанное по формуле = S/ = , а − число измеренийi− го аргумента.
Для случая косвенного измерения при линейной зависимости между аргументами:
= ,
где − постоянный коэффициентi− го аргумента , m − число аргументов.
S() = ,
Если =k, и k,− константы, то определив частные производные по, подставив их в формулу дляS() и разделив полученное выражение на , получим:
= =.
Здесь и− относительные среднеквадратичные отклонения случайных погрешностей результата измеренияиi− го аргумента
Обычно считается, что случайные величины распределены по нормальному закону.
При большом числе измерений (более 25-30) выполненных при нахождении каждого аргумента, доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения определяют по формуле
(P) = zp S(),
здесь zp – квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.
При меньшем числе измерений используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле:
k = ,
где ni - число измерений при определении аргумента . В этом случае доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения
(P) = tpS(),
где tp - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р = 1-q и числу степеней свободы k.
Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измерений аргументов. При измерениях их стараются исключить. До конца это сделать не удается; всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное распределение. Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения (Р), в случае, когда неисключенные систематические погрешности аргументов заданы границами i равны:
(Р) = k
где k - поправочный множитель, определяемый принятой доверительной вероятностью Р и числом m составляющих i .Его значения приведены в таблице .
Значения коэффициента k при m > 4
Табл. 3
-
P
0,90
0,95
0,98
0,99
k
0,95
1,1
1,3
1,4
Если число суммируемых слагаемых m 4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k следует взять из [1-3].
Суммарная погрешность результата косвенного измерения оценивается на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, приведенных в следующей таблице.
Табл. 4
-
Значение (Р)/
Погрешность результата измерения (Р)
(Р)/ < 0,8
(Р)
0,8 (Р)/ 8
kp[(Р)+(P)]
(Р)/ > 8
(P)]
Коэффициент для доверительной вероятности P = 0,95 kp определяется по табл
Табл. 5
-
(Р)/
0,5
0,75
1
2
3
4
5
6
7
8
k0,95
0,81
0,77
0,74
0,71
0,73
0,76
0,78
0,79
0,80
0,81
Результат косвенного измерения записывается в виде х (Р) при доверительной вероятности Р.