Методички / Прикладная механика
.pdf
Задание 6
Спроектировать привод к конвейеру по заданной схеме. Открытая быстроходная передача клиноременная, открытая тихоходная-цепная; редуктор цилиндрический косозубый, срок службы привода t=15000 ч, работа двухсменная, нагрузка спокойная.
Исходные данные
Вел |
|
|
|
|
|
Варианты |
|
|
|
|
|
||
ичи |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P4 |
3,5 |
5,5 |
7,5 |
9,5 |
11,5 |
13,5 |
15,5 |
17,5 |
19,5 |
10,5 |
8,5 |
6,5 |
|
n4 |
65 |
30 |
40 |
55 |
35 |
45 |
25 |
40 |
60 |
30 |
35 |
55 |
|
11
Пример расчета РГР 1
Расчет на прочность и жесткость статически определимого стержня при растяжении - сжатии
Стержень, закрепленный с одной стороны, загружен силами P1=40Кн,Р2=70кН, Р3=30кН , Р4=110кН. Продольные размеры стержня: а=1м, b=1.2м, с=2м, d=0.8м. Допускаемые напряжения на растяжение [σр]=50МПа, допускаемые напряжения на сжатие [σсж]=200МПа. Модуль нормальной упругости Е=2·105МПа.
Требуется определить:
1)Из условия прочности диаметр круглого, постоянного по всей длине стержня;
2)Деформацию всего стержня.
3)Из условия прочности площади поперечных сечений на каждом участке и сравнить массу полученного стержня с массой стержня, полученного в п.1;
5)Деформацию ступенчатого стержня и сравнить ее с полученной в п.2.
Рис. 1
Под действием внешних нагрузок (Р1, Р2, Р3, Р4 ) в теле стержня возникают внутренние усилия-напряжения σ величина которых определяется методом сечений. По этому методу в том месте, где
12
определяются напряжения проводится сечения (рис. 1) и рассматривается равновесие одной части стержня под действием внешних сил действующих на эту часть и внутренних усилий
действующих в сделанном сечении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
часть |
стержня |
левее |
|||||||
Р1 |
I |
|
|
|
NI |
|
|
|
|
|
сечения I-I (рис. 2). На рассматриваемую |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
σI |
|
|
|
|
|
|
|
|
часть действует |
внешняя сила |
Р1. По |
|||||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сечению |
|
I-I действуют внутренние |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
усилия-напряжения σ1, равнодействующая |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которых-NI. Рассматриваем равновесие |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этой части стержня: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ΣX = NI |
− P1 = 0;NI |
= P1 =40(кН). |
|
|
||||||||||||||||||
Из условия прочности необходимая величина площади |
||||||||||||||||||||||||||||
поперечного сечения этой части стержня АI определится: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
N |
|
= |
40 103 |
|
= 0,8 10−3 м2 = 8см2 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AI |
I |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[σ |
] |
50 106 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диаметр первой части стержня определится: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3,19см |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
= |
|
|
|
4AI |
= |
|
4 8 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
3,14 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Изменение длины участка «а»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а= |
NI |
a |
= |
|
|
|
|
|
30 103 1 |
|
|
|
|
= 2.5 10−4 |
(м) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 105 106 0.8 10−3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E A |
I |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим часть стержня левее сечения II-II (Рис.3). На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р1и Р2
По сечению II-II действуют
внутренние усилия-напряжения Рис.3 σΙΙ ,равнодействующая которых-
NII. Рассматриваем равновесие этой части стержня:
13
ΣX = NII − P1 + P2 = 0;NII = P1 − P2 = 40 − 70 = −30(кН)
Как видно, в уравнение N внешняя сила входит со знаком плюс если направлена от сечения (Р1) и со знаком минус, если направлен к сечению (Р2).Или же растягивающая сила со знаком плюс, сжимающая со знаком минус. И если в результате вычисления получаем N со знаком плюс это значит, что рассматриваемый участок растянут, а если со знаком минус-то сжат. Полученное значение NII=-30 говорит о том, что второй участок сжат и при определении площади сечения необходимо брать допускаемое напряжения для сжатия [σcж ]= −200МПа
Необходимая площадь поперечного сечения:
АII= NII /[σсж ]=-30·103 /(-200·106)=0,15·10-3(м2)=1.5(см2) Диаметр второй части стержня:
d |
|
= |
|
4AII |
|
= |
|
4 1.5 |
|
=1,38см |
|
II |
π |
3,14 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение длины участка «b»:
b = |
|
|
NII b |
= |
− 30 103 1.2 |
. = −12 10 |
−4 |
(м) |
|
|
|
E A |
II |
2 105 106 1.5 10−3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим часть стержня левее сечения III-III (рис.4). На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р1 ,Р2 и Р3.
По сечению III-III действуют внутренние усилия-напряжения σΙΙΙ,
равнодействующая которых-NIII.
Рассматриваем равновесие этой части стержня:
ΣX = NI I − P1 + P2 + P3 = 0; NII = P1 − P2 − P3 = = 40− 70− 30= −60(êÍ )
Рис. 4
Необходимая площадь поперечного
сечения АIII:
14
|
NIII |
|
|
− 60 103 |
−4 |
|
2 |
|
2 |
|
|
AIII = |
|
|
= |
|
= 3 10 |
|
ì |
|
= 3(ñì |
|
) |
[σñæ |
] |
− 200 106 |
|
|
|
||||||
Диаметр третьей части стержня определится:
d |
|
= |
|
4AIII |
|
= |
|
4 3 |
|
=1,95см |
|
III |
π |
3,14 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение длины участка «с»:
Рис. 5
C = |
NIII C |
= |
− 60 103 2 |
= −20 10−4 (м) |
|
|
2 1011 3 10−4 |
||||
|
E A |
III |
|
||
|
|
|
|
||
Рассмотрим часть стержня левее сечения IV-IV (рис.5). На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р1, Р2 Р3и P4.
По сечению IV-IV действуют внутренние усилия-напряжения σΙV
равнодействующая которых-NIV.
Рассматриваем равновесие этой части стержня:
ΣX = NIV − P1 + P2 +P3−P4 = 0; NIV = P1 − P2 − P3 + P4 = 50(êÍ )
Необходимая площадь поперечного сечения АIV
A |
= |
NIV |
= |
50 |
103 |
=10 10−4(ì 2) =10(ñì 2) |
[σ ]ρ |
|
|
||||
IV |
|
50 |
106 |
|
||
Диаметр четвёртой части стержня определится
d |
|
= |
|
4AIV |
= |
|
4 10 |
|
= 3,56(см) . |
|
IV |
π |
3,14 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение длины участка «d»:
15
d = |
N |
d |
= |
50 103 0.8 |
= 2 10−4(м) |
|
III |
|
|
|
|||
E A |
11 |
−4 |
||||
|
|
2 10 |
1 10 |
|
||
|
|
IV |
|
|
|
|
Суммарная |
деформация всего стержня l |
складывается из |
|
l |
|
деформаций отдельных его частей: |
|
|
l = a + b + c + |
d = 2.5 10−4 −12 10−4 − 20 10−4 |
+ 2 10−4 = −27.5 10−4(ì ) |
l |
|
|
На рисунке 6 показан чертёж стержня построенный на основании результатов расчёта. Диаметры частей указаны в сантиметрах .Все части стержня будут загружен на 100%.
Рис. 6
Объём части стержня длиной «a»: Va = AI a = 8 100 = 800(см3)
Объём части стержня длиной «b»: Vb = AI b =1.5 120 =180(см3 )
Объём части стержня длиной «c»: Vc = AIII c = 3 200 = 600(см3 )
Объём части стержня длиной «d»: Vd = AIV d =10 80 = 800(см3 )
Полный объём всего стержня:
V1 = Va + Vb + Vc + Vd = 800 +180 + 600 + 800 = 2380(см3 )
Если стержень изготавливать по всей длине одинакового
диаметра, то он будет равен 3.56 см. В этом случае часть «d» будет
загружена на 100%,все остальные будут недогружены. |
|
|
||||
|
|
|
3.56см |
Чертеж |
такого |
|
|
|
|
стержня |
показан на |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
рисунке |
7. |
Объем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.7 |
|
|
|
|
16
стержня в этом случае
будет:
V2 =10 500 = 5000(см3 )
Соотношение объёмов, а следовательно и масс будет:
V2 = 5000 = 2,2 .
V1 2380
Деформация стержня постоянного поперечного сечения по всей длине определится:
l2 |
= |
|
1 |
(N I |
a + N II b + N .III |
c + N .IV d) = |
||
|
|
|||||||
E A мах |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
10 3 |
|
(40 1 + (−30 ) 1.2 |
+ (−60) 2 + 50 0,8) = −3.8 10 −4 (см 3 ) |
|||
|
1011 |
10 10 −4 |
||||||
2 |
|
|
||||||
Соотношение деформаций стержней по второму и первому
варианту:
λ2 = 3,8 = 0,14. λ1 27,5
Пример расчета РГР 2
Расчет статически определимой балки на прочность
Для |
балки, |
изображённой |
на |
рис.1,загруженной |
сосредоточенными силами Р1=20кН, Р2=40кН, равномерно
распределённой нагрузкой q=10кН/м и сосредоточенным моментом
МО=30кН/м требуется:
Рис. 1. Схема нагружения балки
17
1). начертить ее в масштабе;
2). определить реакции опор;
3). построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил; 4). из условия прочности по нормальным напряжениям [σ] =150 МПа
определить размеры круглого сплошного и двутаврового сечений;
5)сравнить массы полученных балок и выбрать вариант с наименьшей материалоемкостью;
6)проверить выбранные сечения на касательные напряжения при [τ]=75 МПа;
18
Определение опорных реакций
Рис. 2. Схема к определению опорных реакций
Реакции RA и RB в точках закрепления балки к основанию (точка
А и В).
Равнодействующая R равномерно распределённой нагрузки q
(рис.2) определится:
R=q 6
Равнодействующая приложена в середине участка: т.е. в трёх
метрах от левого края.
Составим уравнение статики:
∑ M B = P1 9 + R A 5 − P2 1 − q 6 (1 + 2 + 2 + 1) − M 0 = 0
RA = − P1 9 + P2 + q 6 6 + M0 = − 20 9 + 40 +10 36 + 30 = 50(êÍ ) |
|
5 |
5 |
∑ M = P 4 − R 1 + P |
2 |
4 − R |
B |
5 − M |
0 |
= 0 |
||||
A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
R = |
20 4 − 60 |
+ 40 |
4 − 30 |
= 30 кН |
||||||
B |
5 |
|
|
Проверка |
|
∑ Y = P1 + R A + R B − P2 − R = 20 + 50 + 30 − 40 − 60 = 0 |
|
Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающейго момента М
Рис. 3. Схема к построению эпюр Q и M
19
Разбиваем балку на участки, для чего проводим границы участков через точки приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов, через начало и конец распределённой нагрузки. Таких границ оказывается пять, между ними расположено 4 участка.
Делаем сечение I-I и рассматриваем равновесные части балки длиной «Х» левее этого сечения (рис.4). К этой части приложена сосредоточенная сила Р1 и часть распределенной нагрузки q лежащая на длине «Х» метров.
|
|
|
По сделанному сечению будут |
|||
|
|
|
действовать внутренние силы, |
|||
|
|
|
создающую |
поперечную |
||
|
|
|
(срезающую) |
силу |
Q1 и |
|
|
|
|
изгибающий момент MI. |
|||
|
|
|
Составим |
уравнение |
статики |
|
|
Рис. 4 |
|
для |
рассматриваемого |
||
|
|
|
||||
участка.
Вместо равномерно распределенной нагрузки можно приложить в середине участка ее равнодействующую R1 равную произведению нагрузки приходящейся на 1 погонный метр (q) на длину участка на которой она приложена (X1) R=q X1.
∑Y = P1 - R1 − Q1 = 0 Q1 = P1 − R1 = 20 −10x
Из полученного можно сделать вывод, что поперечная сила Q
численно равна алгебраической сумме внешних поперечных нагрузок (Р1 и R1) лежащих по одну сторону от сечения (I- I).Внешние поперечные нагрузки направленные вверх (Р1) входят в уравнение Q со знаком плюс, а вниз (R1) – со знаком минус
Полученное уравнение для Q является прямолинейной зависимостью. Прямую строят по двум точкам. Значение X1 задаём в начале X1=0 и в конце участка Х1=4 м.
20