Занятие 4. Математические предложения. Методика изучения теорем и обучение их доказательству.

Цели изучения темы: Познакомить студентов с общим приемом выполнения логико-математического анализа математических предложений, раскрыть этапы изучения теорем.

Теоретическая часть.

1. Что называют теоремой? Аксиомой?

2. Какую структуру может иметь формулировка теоремы?

3. Виды теорем. Приведите примеры. Существует ли какая либо зависимость между их истинностью?

4. Какие виды доказательства Вы знаете?

5. Какие подходы к введению теорем на уроке существуют? Охарактеризуйте их.

6. Перечислите основные этапы изучения теорем.

Практическая часть.

1. Студентам предлагается определить, какую структуру имеют перечисленные ниже теоремы, изобразить схематически структуру каждой из теорем (если нужно, осуществите переход от формулировки теоремы в категоричной форме и формулировке в импликативной форме).

а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

б) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то какие треугольники равны.

в) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

г) Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов 180⁰, то прямые параллельны.

д) Диагонали прямоугольника равны.

е) Сумма смежных углов равна 180⁰.

ж) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

з) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Группа разбивается на две подгруппы, каждой из которых дается задание сформулировать утверждение обратное, противоположное и противоположное обратному для следующих теорем.

1 подгруппа 2 подгруппа

В равнобедренном треугольнике Сумма смежных углов

углы при основании равны равна 180⁰.

На эквивалентности каких теорем основывается метод доказательства теорем от противного?

3. Провести анализ доказательства (какой способ доказательства используется в учебнике, сколько различных случаев рассматривается, на какие теоремы и аксиомы опирается доказательство) одной из теорем, формулировка которых анализировалась в первом задании, например, теоремы о средней линии трапеции.

4. На основе проведенного логико-математического анализа, разработать методику работы над теоремой о средней линии трапеции, обосновав выбор генетического либо догматического подхода к введению теоремы; опишите подробно каждый из этапов изучения теоремы.

5. Выберите одну из аксиом планиметрии. Продумайте, какую работу можно провести для «открытия» содержания аксиомы.

Занятие 5. Математические понятия. Методика формирования понятий.

Цели изучения темы: Познакомить студентов с логико-математической структурой определений математических понятий; раскрыть основные этапы формирования понятий.

Теоретическая часть.

1. Что называют понятием? Что такое содержание, объем понятия? Приведите примеры.

2. Что такое существенные и несущественные признаки понятия?

3. Какова зависимость между содержанием и объемом понятия?

4. Что называется определением понятия? Есть ли разница между содержанием понятия и определением понятия?

5. Перечислите известные Вам способы определения понятий. Приведите примеры определения математических понятий каждого вида.

6. Каковы требования к определениям понятий? Приведите примеры ошибок, допускаемых учащимися в определениях. Какую работу нужно провести по исправлению ошибок?

7. В каком отношении могут находиться объемы понятий? Приведите примеры.

8. Какие пути введения определения понятия на уроке Вам известны? Охарактеризуйте каждый из них.

9. Заканчивается ли работа по формированию понятия формулировкой его определения? Какими действиями с понятиями учитель должен научить учащихся?

10. Какова роль варьирования существенных и несущественных признаков в формировании понятия?

11. Что понимают под классификацией понятий? Какие требования предъявляются к классификации понятий? С какой целью проводится классификация понятий?

Практическая часть.

1. Назовите существенные признаки понятий: а) ромб, б) равнобедренный треугольник, указанные в определении. Каково содержание указанных понятий? Какие несущественные признаки этих понятий Вы можете назвать? Что представляет собой объем каждого из этих понятий.

2. Выполните логический анализ определений понятий «ромб» и «равнобедренный треугольник».

3. Приведите свои примеры определений понятий по схеме «вид есть род плюс видовые отличия».

4. Из школьных учебников математики подберите несколько определений: а) конструктивных, б) рекурсивных, в) заданных перечислением отличительных признаков, г) определений путем показа объекта в общем виде, д) косвенные определения через аксиомы, е) определения – соглашения.

5. Составьте «родословную» понятия «угол».

6. С помощью кругов Эйлера изобразите отношение между объемами следующих понятий:

А – многоугольник

В – правильный многоугольник