21.Метод Эйлера для систем дифференциальных уравнений.
Выбрав достаточно малый шаг h построим систему равностоящих точек
Xi=x+ih (io=1,2,…) {xi=xi-1 + h}
Что бы решить
задачу Коши 1 и 2 нужно найти интегрированную
кривую, которая проходит через точку
М0(х0,у0). В методе Эйлера искомую кривую
заменяют ломанной MiMi+1
– прямолинейные отрезки расположены
между прямыми x=xi;
x=xi+1,
причем эти отрезки имеют наклон, который
равен 
Угловой коэффициент
через М0 проводим отрезок = 
,
через М1 проводим отрезок = 
и параллельно проводим отрезок = 
отсюда следует М2(х2,у2) построим ломанную
, которая проходит через начальную
точку и yi+1=
yi+
;
*f(xi,yi)=h*yi’
Метод Эйлера явл простейшим численным методом интегрирования дифференциального уравнения.
Недостатком этого метода является
Малая точность
Систематическое накопление ошибок
Можно доказать что если правая часть F(x,y) (1) непрерывна , то последовательность ломанных Эйлера при h->0 на достаточно малом отрезке например [x0,x0+h ] будет стремиться к искомой интегральной кривой у=у(х). Этот метод легко распространяется на систему ДУ.
Пример: пусть дана задача Коши
Отрезок 
i-номер итеррации
х-аргумент
у-ф-ция
Аналог.Решение
y=
Метод Эйлера обладает малой точностью и дает удовлетворительный результат лишь при малых значениях h, это понятно, т.к по существу находя последующее значение интегральной ф-ции двумя членами ряда Тейлора на каждом частичном [xi,xi+1]
Yi+1=yi+hyi’
мы получаем погрешность порядка 
.
Кроме того при вычислении на следующем
отрезке исходные данные не явл точными,
поэтому есть смысл рассмотреть модификацию
метода Эйлера.
Усовершенствованный метод Эйлера.
Сначала вычисляются промежуточные значения
хi+1/2= xi+h/2
yi+1/2=h/2f(xi,yi)
и находят значения направления угловых коэффициентов поля S –ных кривых в средней точке тогда yi+1= yi+hf(xi+1/2, yi+1/2) (1)
Модифицированный метод Эйлера Коши.
Состоит в следующем: Сначала находим грубое приближение
F(xi+1,
=
