19. Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
П ОДУ 1-ого порядка наз-ся уравнение вида y’=f(x) (1)
Рассмотрим основную задачу для ОДУ Задача Коши.
Она состоит в том что бы найти решение в ур 1 удовлетворяющее начальному условию y=f(x) (2)
У0=у(х0) (3)можно
найти ед. интегрированную кривую которая
бы удовлетворяла условию (3). Если правая
часть ур (1) непрерывна в некоторой
области R={|x-x0|<a;|y-y0|<b},
то существует одно решение, это решение
единственно, если в области R
выполняется условие применяется для
любого 
|f(x,y)-f(x,
)|≤N|
|
- условие
N-константа зависит от области R.
Если ф-ция 
имеет ограниченную производную по y,то
логично N=max|
|,
для любого х,у
Для дисперсного
ур n-ого
порядка 
задача коши будет иметь вид
(4)
В приложениях часто встречаются ОДУ . Если ограничиться только рассмотрением только нормальной системы n-ого порядка
(5)
x-независимая переменная
у1- исходная ф-ция
Если система диф.ур содержит производные высших порядков и разряжена относительно старших производных, то путем введения новых переменных ф-ции мы систему (**) можем свести к виду (5)
Обозначения: 
f(x,y1,y2,…,yn-1)
При решении системы ОДУ можно воспользоваться векторным обозначением ф-ции
Тогда система 5 в
векторном виде 
(6)
20.Метод Эйлера для решения скалярной задачи Коши (вывод расчетной формулы, геометрический смысл) и его недостатки.
Задача Коши состоит
в том , что бы найти решение 
,
которое бы удовлетворяла системе (5) или
соответствующему векторному уравнению(6)
или условию 
(7)
Х0- фиксированное значение,
-значение
yi
в х0 
Геометрически это
значит, что требуется отыскать интегральную
кривую 
.
Которая проходит через заданную точку
Для системы ОДУ можно сформулировать теорему о существовании и единственности решения.
Теорема: Пусть в некоторой окрестности начального значения
Система (5)обладает след.свойствами
1.Правые части (5)определены и непрерывны в облаcти U
2. Ф-циия fi
в окресности U
должны удовлетворять условию Липнинца
(
);
(y1,y2,…,yn)
|f(
)-fi(x,y1,y2,…,yn)<N
(8)
Условие (8) гарантирует существование единственного решения, которое определено в окрестности точки |x-x0|<h ,h>0
При выполнении условия (1),(2),(3)
Y’=f(x,y);
y=y(x) (2)
y0=y(x0) (3)
Задача Коши разрешима и имеет единственное решение, т.е через точку М0 проходит единственная интегральная кривая.
Замечание: вместо
условия Липшица достаточно потребовать
ограничения производных 
,
I,j-=1,n.
Тогда за N
можно взять 
Однако для линейных ф-ций f(x,y) как правило общее решение ОДУ не удается найти , поэтому возникают потребности в создании большого числа приближенных методов решения дифференциальных уравнений. Все эти методы можно разделить на 3 группы:
1.Аналитические методы, которые дают приближенные решения в виде аналитических выражений.
2. Графические методы, которые дают приближенное решение в виде графика
3. Численные методы , которые достигаются приближенным решением в виде таблиц.
Среди численных методов можно выделить и рассмотреть:
Интегрированные ДУ с помощью степенных рядов.
Метод последовательных приближений.
Метод Эйлера