3.Погрешность суммы и разности(вывод абсолютной и относительной погрешности из общих формул решения основной задачи теории погрешности).

4. Погрешности произведения и частного(вывод относительной и абсолютной погрешности из общих формул решения основной задачи теории погрешности).

Ответ в файле pdf с названием Теория погрешности параграф 6 6.

5. Метод Гаусса(прямой и обратный ход), условия применимости метода.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица называется основной матрицей системы,— столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные называютсяглавными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где, то рассматриваемая система несовместна.

Пусть для любых.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где— номерстроки):

, где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности

Упомянутое выше условие для всехможет быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Алгоритм

Описание

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует порядка действий.

6. Способ пропорциональных частей(метод хорд) для уточнения изолированного корня алгебраического или трансцендентного уравнения. Оценка погрешности.

Если уравнение достаточно сложно, то его очень редко удается решить точно, кроме того в уравнении могут быть коэффициенты которые получены экспериментально то есть являются приближенными сама задача о получении точного решения теряет смысл, по этому важное значение приобретает способы нахождения приближенного решения степень точности этого решения.

f(x)=0 (1), где f(x) – определена и непрерывна в некотором конечном интервале (a,b) или () в дальнейшем потребуется существование и непрерывность первой производнойf^,(x) или f^,,(x).

Всякое значение которая обобщает функцию в 0, называют корнем уравнения (1).

Будет представлять, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность не содержащая других корней.

Приближенное нахождение изолированных корней (действительных) корней обычно состоит из 2-х этапов:

1. Определение корней, т.е. установление возможно тесных промежутков () в которых существует только один корень.

2. Уточнение корней, доведение корней до требуемой степени точности f(x)=0 (1) для (1) этапа.

Т.1.

Если непрерывная f(x) принимает значение разных знаков на отрезке [], f()*f()<0 то внутри отрезка [] найдется хотя бы один корень т.е. Будет существовать

f^,(x) существует и сохраняет при этом свой знак на отрезке [].

Для определения корней часто бывает достаточно провести процесс половинного деления, примерно деля отрезок на 2,4,6 равных интервалов. И определение знака функции f(х) в точке деления.

Следует помнить, что алгебраическое уравнение n-й степени имеет не более n-корней.

Для оценки погрешности приближенного значения корня, справедлива теорема.

Т.2.

Пусть точный корень уравнения (1) априближенный корень уравнения,,, причем, тогда, абсолютная погрешность не превосходит значения(2)

Доказательство:

Воспользуемся формулой Лагранжа

это модуль всегда ли-но

Графическое решение уравнения f(x)=0.

Действительные корни уравнения (1) можно определить как абцису точки пересечения с осью ох, но иногда удобней уравнение (1) привести к виду в этом случае искомые корни мы найдем через пересечение 2-х прямых.

Метод хорд

f(x)=0 , произведение f(a)*f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] -тогдаx1=a+h1

Точки A(a,f(x)) B(b,f(b)) следовательно

Положим f(x)=0, получим, что x=x1 следовательно пусть вторая производнаяf(x)>0

Рассмотрим

1. f(a)<0

2. f(a)>0

Данная последовательность приближений ограничена сверху и возрастает, следовательно существует предел последовательности

Данная последовательность приближений ограничена снизу и убывает, следовательно существует предел последовательности

Обобщим:

1. Неподвижным является тот конец отрезка для которого знак функции совпадает со знаком второй производной f(x), а последовательное приближение лежит по ту сторону корня, где функция имеет знак противоположный знаку 2-й производной.

В любом случае каждое следующее значение x_n ближе к , поэтому как только(Е- предельная абсолютная погрешность), (0<E<1),то это гарантирует что

2. Для оценки точности приближения можно воспользоваться

m1- наименьшее значение на [a,b] наименьшее значение

f(x)=0 (1).