7.Метод Ньютона (метод касательных прямых) для уточнения изолированного корня алгебраического или трансцендентного уравнения.

f(x)=0 (1)

пусть является корнем решения (1) этот корень отделен на отрезкепричемне прерывна и сохраняет опред. знаки на отрезке [a,b] найдем какой-либо способ (n-е приближение) к корню.

Тогда точное решение уравнение (1) можно записать как существование некоторого приближения уточнимтак как функцияf(x) не прерывна на отрезке [a,b], то с учетом равенства (2) можно записать к данному равенству применим формулу Тейлора:

Тогда с учетом равенства (3)+(2) следует:

Геометрически это означает замену небольшой дуги кривой касательной проведенный к некоторой точке кривой по этому метод ньютона называют метод касательных.

Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближениелучше предыдущего.

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть — определённая на отрезкеи дифференцируемая. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:

где — угол наклона касательной в точке.

Следовательно искомое выражение для имеет вид:

Если За взять 0, то точка будет лежать вне отрезка [a,b] за начальное приближение берется та точка значение функции в которой совпадает со значением второй производной этой функции в любой точки отрезка [a,b].

Алгоритм

1. Задается начальное приближение .

2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или(то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение:.

8. Метод простых итераций для численного решения алгебраических или трансцендентных уравнений. (Суть метода и геометрическая интерпретация).

Суть метода:

f(х)=0 (1) непрерывная функция заменим эквивалентным уравнением (2).

Выберем каким либо способом грубое приближение корня и обозначим его х₀.

Подставим х₀ в правую часть уравнения (2), получим х₁= , х₂= ….. х_n= (3)

Если последовательность окажется сходящейся то

Переходя к пределу в равенстве (3), получим Стало бытьявляется корнем уравнения (2)и уравнения (1).

8. Достаточные условия сходимости метода простой итерации (теоремы, оценки погрешностей).

Теорема сходимости:

Пусть существует функция определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Причем все значения функции принадлежат отрезку [a,b], тогда если существует правильная дробь 0<q<1 такая что длягдеn=0,1,2… сходятся независимо от начального приближения , причем предельное значениеи этот корень единственный.

Доказательство:

приводя к эквивалентному виду

Обозначим за q=sup

Последовательность приближений х_n есть частичные суммы S_n+1 ряда 4

S₂=x₁

S₃=x₂……

S_n+1=x_n

Члены ряда 4 по абсолютной величине начиная с 3, меньше членов арифметической прогрессии со значениями 0<q<1, q;q²;q³;…;qⁿ.

Геометрическая прогрессия является сходящейся, значит существует

В силу непрерывности можно записать, значит этот корень уравнения (2).

Докажем единственность:

Пусть существует которая является корнем (2)

, найдем

с- внутренняя точка отрезка [a,b].

Замечание 1:

1. Константа q – носит название константы Липшиця.

2. Наша теорема справедлива, если функция будет определена и дифференцируема на интервале (-, +), но лишь в том случае, когда константа Липшиця.

3. В условиях теоремы метод итерации сходится для любого х₀[a,b] благодаря чему он является самоисправляющийся, т.е. отдельные ошибки в вычислениях не влияют на результат.

Оценка приближений

Рассмотрим модуль разности известно, что модуль суммыПроцесс итерации сходится тем быстрее чем меньшеq.

При желании можно вывести

Замечание: Если q=1\2, то

Процесс итерации следует продолжать до тех пор пока 2 последующих приближений не будет удовлетворять условию

Докажем, что каждое из приближений x_n располагается ближе к корню.

т.е. последовательность приближений изменяется монотонно и каждое последующее приближение nрасполагается ближе к корню .

Теорема сходимости 2:

Пусть определена и дифференцируема на некотором отрезке [a,b], причем х=имеет кореньлежащий в более узком отрезке, гдетогда если:

1. 

2. , то все последующие приближения будут принадлежать интервалу [a,b], и процесс итерации будет сходится к единственному корню уравнения х=, причем будет выполняться оценка (5).