Системы массового обслуживания

В филиале банка постоянно работают 3 оператора. Если клиент заходит в банк, когда все операторы заняты, то он сразу уходит, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, которые обращаются в банк за 1 ч., составляет 13 чел. Среднее время, затрачиваемое оператором на обслуживание одного клиента, составляет 16 мин. Продолжительность рабочего дня 8 часов.

Определить основные характеристики эффективности функционирования данного филиала банка, при условии:

- работы трех операторов;

- увеличение количества операторов до четырех.

Сделать выводы, дать обоснования целесообразности необходимости увеличения количества операторов при условии, что обслуживание одного клиента в среднем приносит прибыль 37 ден.ед., а создание дополнительного канала обслуживания требует расходов в сумме 470 ден.ед./день.

Решение.

Поскольку клиент в случае занятости всех операторов оставляет банк не ожидая обслуживания - это данная СМО - СМО с отказами.

Расчет характеристик эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами:

Характеристика	Формула для расчета	Расчет
Интенсивность обслуживания		чел/час
Показатель напряженности обслуживания
Вероятность того, что все каналы свободны
Вероятность того, что в системе присутствуют n требований
Вероятность отказа
Среднее число занятых каналов
Среднее число свободных каналов
Коэффициент занятости
Коэффициент простоя
Математическое ожидание возможных потерь от отказа обслуживания заявки		ден. ед./час

Принятые условные пометки

λ	Интенсивность потока требований
μ	Интенсивность обслуживания
α	Показатель напряженности обслуживания
k	Количество каналов
n	Количество заявок в системе
pn	Вероятность n-oго состояния системы
p0	Вероятность простоя всей системы, т.е. вероятность того, что все каналы свободны
Nz	Среднее число занятых каналов
N0	Среднее число свободных каналов
Mп	Математическое ожидание возможных потерь от отказа обслуживания заявки
Mпр	Математическое ожидание возможных потерь от простоя канала
З	Расход на содержание 1 канала в единицу времени
R	Средний доход от обслуживания одной заявки
0!=1

Результаты:

Вероятность того, что все каналы свободны, составляет 0,056.

Вероятность того, что в системе имеется одно требование, составляет 0,196; два требования - 0,343; три требования - 0,4.

Соответственно, вероятность отказа составляет 0,4.

Среднее число занятых каналов в данных условиях 2,0825, т.е. в среднем в системе занято два оператора.

Соответственно коэффициент занятости составляет 69,4%

Среднее число свободных каналов - 0,9175, т.е. в среднем в системе свободен один оператор.

Коэффициент простоя, соответственно, составляет 30,6%

Математическое ожидание возможных потерь от отказа обслуживания заявки - 192,4 ден. ед/час, т.е. средний ожидаемый уровень потерь от отказа обслуживания клиентов данной СМО.

Поскольку вероятность того, что все каналы заняты довольно низкая, необходимость создания дополнительного канала обслуживания, т.е. оборудование дополнительного рабочего места оператора, незначительная.

Однако для количественного обоснования данного решения необходимо рассчитать математическое ожидание возможных потерь, от простоя канала, в случае создания дополнительного канала обслуживания.

Обоснование целесообразности увеличения количества операторов.

В данной постановке задачи количество каналов обслуживания k=4:

Вероятность того, что все каналы свободны

Целесообразность оборудования дополнительного канала обслуживания можно оценить, сравнив ущерб, связанный с потерей клиентов, и расхода на создание и обслуживание такого канала.

Так, в трехканальной СМО убыток от потери клиента составляет 21,75ден.ед., а в четырехканальной:

Вероятность отказа
Математическое ожидание возможных потерь от отказа обслуживания заявки		ден. ед./час

Таким образом, создание дополнительного канала обслуживания разрешит сократить ущерб от отказа в обслуживании на ден.ед./час. Тогда как оборудование дополнительного рабочего места оператора потребует дополнительных расходов в размереден. ед./час.

Итак, сравнение всех рассчитанных величин разрешает сделать вывод о нецелесообразности увеличения количества рабочих мест операторов.