АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

ной плоскости Оху. Тогда расстояние между ними можно вычислить по формуле:

AB (xB xA )2 (yB yA )2 .

Теорема. (О модуле вектора.) Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат:

| a | a2x a2y .

Обозначим углы между вектором и координатными осями: (a ^ Ox) , (a ^ Oy) .

у

a

х

Рис. 7

Определение. Углы между вектором и координатными осями называются его направляющими углами, а их косинусы – его направляющими косинусами.

Теорема. (О направляющих косинусах вектора.) Пусть a (ax ; ay ) . Тогда

Определение. Вектор единичной длины, сонаправленный с вектором a называется его ортом, и обозначается ao .

Теорема. (Об орте вектора.) Направляющие косинусы вектора являются координатами его орта:

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

ao | aa | (cos ; cos ) .

натной плоскости Оху, лежащие на одной прямой L, и точка С делит отрезок АВ в отношении CAB , считая от точки А. Тогда

п.2. Список задач Список №1

1.Построить чертеж общей ДСК на плоскости с данным координатным углом, и отметить на нем точку с заданными координатами.

2.Найти расстояние от данной точки плоскости до координатных осей

в общей ДСК с данным координатным углом.

Следующие задачи предполагается решать в ПДСК на плоскости.

3.Построить чертеж ПДСК на плоскости, и отметить на нем точку с заданными координатами.

4.Найти на координатной плоскости точку, симметричную данной относительно координатных осей и начала координат.

5.Построить в ПДСК на плоскости радиус-вектор точки с заданными координатами, и найти его координаты.

6.В ПДСК на плоскости отложить от данной точки вектор с данными координатами.

7.Дан вектор в координатной форме записи. Найти его модуль, орт и направляющие косинусы.

8.Дан орт вектора и его модуль. Найти его координаты, и записать в координатной форме. Построить чертеж координатной плоскости, и отложить от начала координат найденный вектор и его орт.

9.Дан модуль вектора и один из двух направляющих углов. Найти координаты вектора, и отложить его от начала координат.

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

10.Найти координаты вектора по известным координатам его начала

иконца.

11.Найти координаты суммы векторов и произведения вектора на число.

12.Найти расстояние между двумя точками с известными координатами.

13.Найти отношение, в котором данная точка делит данный отрезок.

14.На данном отрезке найти координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

15.Найти координаты середины отрезка.

Список №2

1.Зная расстояния от точки до координатных осей, найти её координаты в данной общей ДСК.

2.Найти на координатной плоскости точку симметричную данной относительно биссектрисы координатного угла, и биссектрисы угла, смежного с координатным.

3.Найти на координатных осях точку, удаленную от данной точки на данное расстояние.

4.Точка с одной известной координатой делит данный отрезок в данном отношении. Найти неизвестную координату этой точки.

п.3. Примеры Пример 1. Построить точку М(2; 1) в общей ДСК с координатным уг-

лом 60o , и найти расстояния от неё до координатных осей.

Решение. Смотрите рисунок 8. На оси Ох откладываем точку С(2). На оси Оу откладываем точку D(1). Через точки С и D проводим прямые, параллельные координатным осям. Их точка пересечения есть искомая точка М(2; 1). Из точки М опускаем перпендикуляры на координатные оси: МА и МВ. Это искомые расстояния от точки М до координатных осей. По построению, OCMD является параллелограммом, поэтому CM OD 1, MD OC 2 . В прямоугольном треугольнике

АМС, угол А прямой, угол АСМ равен координатному углу, следовательно,

AM CM sin 60o 23 .

Аналогично, из треугольника DMB находим

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

BM DM sin 60o 3 .

у

В

М

D(1)

60o

х

ОС(2) А

Пример 2. Отложить на координатной плоскости Оху вектор a ( 3;1) от точки А(2; 1).

Решение. Смотрите рисунок 9.

у

B F(2)

А(2;1)

D(1)

х

E(–1) O С(2)

Рис. 9

Обозначим через В – конец искомого вектора, С и D – проекции точки А на координатные оси.

Проекция вектора a на ось абсцисс равна минус 3, поэтому откладываем на оси Ох от точки С влево от нее 3 единицы и отмечаем точ-

ку Е(–1). Проекция вектора a на ось равна 1, поэтому откладываем на

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

оси Оу от точки D вверх от нее одну единицу и отмечаем точку F(2). В точках Е и F восстанавливаем перпендикуляры. Их точка пересечения есть искомая точка В.

Построенный вектор AB равен данному вектору a , так как равны их координаты – их проекции на координатные оси.

Ответ: рисунок 9.

Пример 3. Найти модуль, орт и направляющие косинусы вектора a ( 3;1) .

Пример 4. Найти координаты вектора a , и записать его в координатной форме, если его модуль равен 10, а его направляющий угол в 2

раза больше направляющего угла . Решение. Воспользуемся соотношением

cos2 cos2 1,

и тем, что по условию задачи 2 . Получаем уравнение

cos2 cos2 2 1 .

Воспользуемся формулой косинуса половинного аргумента:

cos2 1 cos2 , 2

и, подставляя в уравнение, получаем

2cos2 2 cos 2 1 0 .

Решая последнее уравнение находим его корни, учитывая, что, по определению, направляющий угол не превосходит 180o :

1 6 ; 2 2 .

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

Следовательно, 1 3 ; 2 . Теперь, зная направляющие углы век-

тора, находим его орт:

a1o (cos 1;cos 1) ( 23 ; 12), ao2 (cos 2 ;cos 2 ) (0; 1) .

Умножая орт вектора на его модуль, получаем запись вектора в координатной форме:

a | a | ao | a | (cos ; cos ) . Ответ: a1 (5 3;5), a2 (0; 10) .

Пример 5. Найти координаты вектора AB , если А(1; 3), В(–1; 7). Решение. Воспользуемся формулой:

AB (xB xA ; yB yA ) ( 2;4) . Ответ: AB ( 2;4) .

Пример 6. Найти координаты вектора 2a 4b , если a (5; 1), b (2;7) .

Решение. Действия с векторами в координатной форме удобнее производить, когда координаты вектора записаны не в строчку, а столбцом:

Ответ: 2a 4b (2; 30) .

Пример 7. Найти расстояние между точками: А(1; 3), В(–1; 7). Решение. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками координатной плоскости:

AB (xB xA )2 (yB yA )2 ( 2)2 42 2 5 .

Ответ: 2 5 .

Пример 8. Найти отношение, в котором точка С(2; 1) делит отрезок А(1; 3), В(–1; 7), считая от точки А.

Решение. 1-й способ. Сначала убеждаемся в том, что данные точки

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

следовательно, векторы коллинеарные и данные точки лежат на одной прямой. Более того,

AC (1; 2) 13 CB 13 ( 3;6) .

Из определения отношения, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А:

AC CAB CB ,

находим, что CAB 13 .

2-й способ. Если данные точки находятся на одной прямой, то верны равенства:

Подставляя данные координаты в эти равенства, получаем:

Следовательно, данные точки лежат на одной прямой и искомое отношение CAB 13 .

3-й способ. Сначала убедимся в том, что данные точки лежат на одной прямой. Для этого найдем длины отрезков АВ, АС, СВ:

AB 2 5, AC 5, CB 3 5 .

Так как CB CA AB , то это означает, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Далее, воспользуемся теоремой о вычислении отношения, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А:

CAB ACCB ,

где знак плюс берется в том случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом, и знак минус, когда точка С делит отрезок АВ

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

внешним образом. Получаем отсюда: CAB ACCB 3 55 13 . Если

бы точка С находилась между точками А и В на отрезке АВ, тогда выполнялось бы одно из следующих неравенств:

xA xC xB или xB xC xA ,

но в нашем случае, xC 2 xA 1 xB 1. Это означает, что точка С делит отрезок АВ внешним образом, и нужно выбрать знак минус. Ответ: CAB 13 .

Пример 9. Найти координаты точки С, если известно, что она делит отрезок А(1; 3), В(–1; 7), считая от точки А, в отношении 3 : 2. Решение. Воспользуемся формулами:

По условию задачи, CAB 32 . Из данных формул находим:

Пример 10. Найти координаты середины отрезка АВ, если А(1; 3),

В(–1; 7).

Решение. Воспользуемся формулами координат середины отрезка:

Ответ: (0; 5).

п.3. Задачи Задачи для аудиторного решения 9

1.Построить точки с данными координатами в косоугольной системе координат с координатным углом 60o : А(1; 2); В(–3; 1); С(1; –2);

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

D(–2; –2).

2.Относительно косоугольной системы координат с координатным углом 45o дана точка М(4; 2). Определить расстояние от этой точ-

ки до осей координат.

Следующие задачи решаем в ПДСК.

3.Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и точки, симметричные данной относительно координатных осей и начала координат.

4.Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и её радиусвектор, и найдите его координаты.

5.Отложите от точки А(–2; –3) вектор a ( 1;7) .

6.Найдите модуль, направляющие косинусы и орт вектора a ( 1;7) .

8.Найдите координаты вектора, если его модуль равен 5, а угол между вектором и осью ординат равен 150o .

a( 1; 7), b (2;5), c (1; 3) .

11.Даны две смежные вершины квадрата А(3; –7) и В(–1; 4). Вычислите его площадь.

12.Найдите отношение, в котором точка С(4; 5) делит отрезок АВ, считая от точки А, если А(1; –1), В(3; 3). Убедитесь сначала, что данные точки лежат на одной прямой.

13.На отрезке АВ, где А(–4; 5), В(1; –1), найдите точку С, которая делит его в отношении 3 : 5, считая от точки А.

14.Найдите координаты середины отрезка АВ, если:

Задачи повышенного уровня сложности 9

15. Определить координаты точки М в косоугольной системе координат с координатным углом 6 , если расстояние ее от осей координат равны соответственно 1 и 1,5.

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

16.Определить координаты вершин правильного шестиугольника со стороной 1, если за оси координат принять две его смежные стороны, так, что вершина противолежащая началу координат, имеет положительные координаты.

17.Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся координатных осей. Определить ее центр и радиус.

18.Даны три точки А(1; –1), В(3; р) и С(4; 5). При каком р треугольник АВС прямоугольный?

19. Даны две смежные вершины квадрата А(2; –1) и В(–1; 3). Найти координаты двух его других вершин.

20.Прямая линия отсекает на оси Ох отрезок OA 4 и на оси Оу отрезок OB 7 . Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую.

21.Сторона ромба равна 5 2 , две его противоположные вершины имеют координаты (4; 9) и (–2; 1). Докажите, что этот ромб является квадратом.

22.В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3) и С(6; –5) найти длину биссектрисы внутреннего угла В.

23.Покажите, что точки А(–3; 8), В(1; 5) и С(4; 1) могут служить тремя вершинами ромба ABCD (или ABDC).

а) Используя равенство AB CD , найдите координаты точки D. б) Вычислите площадь этого ромба.

Домашнее задание 9. ПДСК на плоскости

1.Найти координаты точки, симметричной точке А(–3; –5) относительно оси абсцисс косоугольной системы коорди-

нат с координатным углом 60o .

2.В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3) и С(6; –5) найти: а) длину высоты ВD; б) отношение в котором точка D делит отрезок

АС и координаты точки D; в) координаты вектора BD и его направляющие углы; г) координаты, модуль, орт и направляющие углы вектора CM 34 BA .

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

Самостоятельная работа 9

Вариант 1.

1.Определение угла между векторами.

2.На координатной плоскости Оху даны точки А(–3; 2) и В(1; –1): а) постройте точки А и В на плоскости Оху;

б) найдите координаты вектора AB ;

в) найдите координаты середины отрезка АВ; г)* докажите, что начало координат не лежит на прямой, проходящей через точки А и В.

Вариант 2.

1.Определение угла между вектором и осью.

2.На координатной плоскости Оху даны точки А(–1; –1) и В(3; 2): а) постройте точки А и В на плоскости Оху;

б) найдите координаты вектора AB ;

в) найдите координаты середины отрезка АВ.

г)* докажите, что начало координат не лежит на прямой, проходящей через точки А и В.

Вариант 3.

1.Определение координат вектора в ПДСК на плоскости.

2.Отложите вектор AB (1; 2) от точки А(–2; 1), и: а) постройте чертеж и найдите координаты точки В;

б) найдите модуль вектора AB и его направляющие косинусы. Вариант 4.

1.Определение координат точки в ПДСК на плоскости.

2.Отложите вектор AB ( 1; 2) от точки А(2; –1), и:

а) постройте чертеж и найдите координаты точки В;

б) найдите модуль вектора AB и его направляющие косинусы.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 9 Обозначения

1.Обозначение угла между векторами, между вектором и осью.

2.Обозначение координат точки М на координатной плоскости Оху.

3.Обозначение координат вектора.

4.Координатная форма записи вектора.

5.Обозначение направляющих углов вектора.

6.Обозначение орта вектора.

15

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17

Определения

1.Определение угла между двумя векторами.

2.Определение угла между вектором и осью.

3.Определение координатного угла в ДСК на плоскости.

4.Определение абсциссы и ординаты точки координатной плоскости.

5.Определение координат точки координатной плоскости.

6.Определение координатной плоскости.

7.Определение ПДСК на плоскости.

8.Определение радиус-вектора точки координатной плоскости.

9.Определение координат вектора на координатной плоскости.

10.Определение координатной формы записи вектора координатной плоскости.

11.Определение направляющих углов и направляющих косинусов вектора координатной плоскости.

12.Определение орта вектора.

Теоремы

1.Теорема о вычислении проекции вектора на ось.

2.Теорема о координатах точки и её радиус-вектора.

3.Теорема о равенстве векторов в координатной форме записи.

4.Теорема о действиях с векторами в координатной форме записи.

5.Теорема о вычислении координат вектора.

6.Формула расстояния между двумя точками плоскости.

7.Формула модуля вектора, заданного в координатной форме.

8.Формула направляющих косинусов вектора, заданного в координатной форме.

9.Формулы координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

10.Формулы координат середины отрезка.

11.Формулы вычисления отношения, в котором данная точка делит данный отрезок.

Тест 9

1.Отметьте на координатной плоскости Оху следующие точки: А(3; 4), В(–1; 2), С(–1; –2), D(3; –4).

2.Отметьте на координатной плоскости Оху точки, симметричные точке А(2; 4) относительно осей координат и начала координат.

3.Отметьте на координатной плоскости Оху точки, симметричные точке А(2; 4) относительно биссектрисы координатного угла и бис-

16

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

Практическое занятие 10 Прямоугольная декартовая система координат в

пространстве

Краткое содержание: ориентация трех взаимно перпендикулярных координатных осей в пространстве, координаты точки и ПДСК в пространстве, координаты вектора и координатная форма записи, действия с векторами в координатной форме, расстояние между двумя точками в пространстве, модуль вектора, его направляющие углы и косинусы, орт вектора, деление отрезка в данном отношении.

п.1. Теория п.1.1. Ориентация координатных осей в пространстве

Пусть Ох, Оу и Оz – три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом координат в точке их пересечения О. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат, ось Оz – осью аппликат.

Рассмотрим кратчайший поворот оси Ох вокруг начала координат в плоскости Оху к оси Оу, причем наблюдать за этим поворотом будем из той части полупространства относительно плоскости Оху, в которой находится положительная полуось аппликат. Если наблюдаемый поворот осуществляется против часовой стрелки (смотрите рисунок 1), то говорят, что оси координат имеют правую ориентацию, иначе (смотрите рисунок 2) – левую.

z

О у

х

Рис. 1

п.1.2. Прямоугольная декартовая система координат в пространстве

Пусть Ох, Оу, Оz – три взаимно перпендикулярные оси с правой ориентацией, с общим началом координат О и общим масштабом. Введем понятие координат произвольной точки пространства М. Пусть Mx , My , Mz – проекции точки М на координатные оси Ох, Оу, Оz со-

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

ответственно. Смотрите рисунок 3.

z

О х

у

Рис. 2

z Mz

М

Рис. 3

Каждая точка на координатной оси имеет координату. Обозначим xM , yM , zM координаты точек Mx , My , Mz на координатных осях Ох,

Оу, Оz соответственно, т.е. Mx (xM ), My (yM ), Mz (zM ) .

Определение. Числа xM , yM , zM называются, соответственно, абс-

циссой, ординатой и аппликатой точки М. Упорядоченный набор чисел (xM , yM , zM ) называется координатами точки М.

Общепринято следующее обозначение координат точки М: M(xM , yM , zM ) . (Смотрите рисунок 4.)

Определение. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные оси с правой ориентацией, с общим началом координат, общим масштабом и вве-

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

денным понятием координат любой точки пространства.

п.1.3. Координаты вектора и его координатная форма записи

Определение. Вектор OM , где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки М.

Определение. Координатами вектора называются его проекции на координатные оси.

Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.) Координаты точки М в ПДСК в пространстве совпадают с координатами её ради- ус-вектора:

xM прx OM, yM прy OM, zM прz OM .

Смотрите рисунок 4.

z

Mz (zM )

M(xM , yM , zM )

a

О

у

My (yM )

хMx (xM )

Рис. 4

Принято отождествлять радиус-вектор OM с упорядоченной тройкой его координат:

OM (xM , yM , zM ) (прx OM, прy OM, прz OM) .

Введем для произвольного вектора a обозначения:

ax прx a, ay прy a, az прz a .

Пусть a – произвольный вектор пространства и a OM . Так как проекции вектора на оси не зависят от выбора точки его начала, то можно

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

записать:

a (прx a, прy a, прz a) (ax , ay , az ) .

Определение. Запись вектора в виде a (ax , ay , az ) называется его координатной формой записи.

Теорема. (О равенстве векторов.) Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме.) При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число:

a b (ax bx , ay by , az bz ) , k a (k ax , k ay , k az ) .

Теорема. (О вычислении координат вектора.)

Для того, чтобы вычислить координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:

AB (xB xA ; yB yA ; zB zA ) .

Теорема. (Формула расстояния между двумя точками.) AB (xB xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2 .

Теорема. (О модуле вектора.) Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

| a | a2x a2y az2 .

Обозначим углы между вектором и координатными осями: (a ^ Ox) , (a ^ Oy) , (a ^ Oz) .

Определение. Углы между вектором и координатными осями называются его направляющими углами, а косинусы этих углов называются направляющими косинусами.

Теорема. (О направляющих косинусах вектора.) Пусть

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

z

a

х

Рис. 5

Теорема. (Об орте вектора.) Направляющие косинусы вектора являются декартовыми координатами его орта:

ao | aa | (cos ; cos ; cos ) .

п.1.4. Деление отрезка в данном отношении Теорема. (О координате точки, делящей отрезок.) Пусть

A(xA , yA , zA ), B(xB , yB , zB ) и C(xC , yC , zC ) – три произвольные точ-

ки пространства, лежащие на одной прямой L и точка С делит отрезок

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14

п.2. Список задач Список №1

1.Построить чертеж ПДСК в пространстве, и отметить на нем точку с заданными положительными координатами.

2.Найти в координатном пространстве координаты точки, симметричной данной относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

3.Найти расстояние от данной точки до координатных плоскостей и координатных осей.

4.Построить в ПДСК Oxyz радиус-вектор точки с заданными координатами, и найти его проекции на координатные оси.

5.Дан вектор в координатной форме записи. Найти его модуль и направляющие косинусы. Записать орт данного вектора в координатной форме.

6.Дан орт вектора и его модуль. Найти его координаты, и записать в координатной форме.

7.Дан модуль вектора и два из трех направляющих углов. Найти координаты вектора.

8.Найти координаты вектора по известным координатам его начала и конца.

9.Найти координаты суммы векторов и произведения вектора на число.

10.Найти расстояние между двумя точками с известными координатами.

11.Найти отношение, в котором данная точка делит данный отрезок.

12.На данном отрезке найти координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

13.Найти координаты середины отрезка.

Список №2

1.Найти на координатных осях точку, удаленную от данной точки на данное расстояние.

2.Точка с одной известной координатой делит данный отрезок в данном отношении. Найти неизвестные координаты этой точки.

п.3. Примеры Пример 1. Построить точку М(1; 2; 2) в координатном пространстве

Oxyz, и найти расстояния от неё до координатных плоскостей и осей. Решение. Смотрите рисунок 6.

6