МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет им. М.Т. Калашникова»

Кафедра «Вычислительная Техника»

Лабораторная работа №3

Выполнила: студентка группы 5-78-2 Мельчикова М.В.

Принял: Вдовин А.Ю.

Ижевск – 2012

Цель работы: Необходимо аппроксимировать массив А[0..30] полиномами различной степени и выбрать оптимальную аппроксимацию. Выбор оптимальности степени полинома обосновать. Реализовать на ЯВУ аппроксимацию массива А.

Порядок выполнения :

1. Краткая теория Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

• аналитический

• графический

• табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперимента. Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые не определены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксимирующей, а действие замены аппроксимацией. Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию w(x) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

w(х)- аппроксимирующая функция.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i,y_i), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.

Обозначим через f_i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_i и сопоставляемое с y_i.Одно из условий согласования можно записать как

S = ∑(f_i - y_i) → min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерия S = |f_i-y_i| → min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума. Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой

(1)

обращается в минимум. В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C₀ + C₁^X + C₂X²+...+C_MX^M. (2)

Формула (1) примет вид

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С₀,С₁,...С_М :

S_C0 = 2 ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+...+C_MX_i^M - Yi ) = 0 ,

S_C1 = 2 ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+...+C_MX_i^M - Y_i ) X_i = 0 ,

.................................................................................... (3)

S_CM = 2 ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+...+C_MX_i^M - Y_i ) X_i^M = 0 ,

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

C₀ (N+1) + C₁ X_i + C₂X_i² +...+ C_M X_iM = Y_i ,

C₀X_i + C₁X_i2 + C₂X_i³ +...+ C_MX_i^M+1 = Y_i X_i ,

.................................................................................... (4)

C₀X_i^M + C₁X_i^M+1 + C₂X_i^M+2 +...+ C_MX_i^2M = Y_i X_i^M .

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

(N+1)X_i X_i² ... X_i^M Y_i

X_i X_i² X_i³ ... X_i^M+1 Y_i X_i

....................................................

X_i^M X_i^M+1 X_i^M+2 ... X_i^2M Y_i X_i^M

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.