Условия задачи:

Вариант 4. На заводе используется сталь трех марок A, B и C, запасы которых соответственно 10, 16 и 12 единиц.

Завод выпускает два вида изделий. Для изделия № 1 требуется по одной единице стали всех марок. Для изделия № 2 требуется две единицы стали марки B , одна единица  марки С и не требуется сталь марки А. От реализации единицы изделия № 1завод получает три усл. ден. ед. прибыли, изделия № 2  две усл. ден. ед. (табл. 6).

Таблица 1

Ресурсы	Нормы расхода ресурса на 1 ед. изделия			Общее количество ресурса
	Изделие № 1	Изделие № 2
Сталь марки А	1	0	10
Сталь марки В	1	2	16
Сталь марки С	1	1	12
Прибыль	3	2

Составить план выпуска продукции, дающий наибольшую прибыль.

1. Математическая модель задачи линейного программирования

Обозначим через x₁иx₂количество ресурсов, которое необходимо для изготовления изделия №1 и №2. Тогда общая стоимость выпущенной продукции составитF=c₁x₁+c₂x₂= 3x₁+ 2x₂. Необходимо найти такие значенияx₁иx₂, чтобы величинаFбыла максимальной, т.е.Fmax. Таккак завод имеет определенноеколичество ресурсов, то вводятся ограничения на каждую марку стали. Для стали марки А существует ограничение в 10 ресурсов, следовательно это ограничение может быть записано математически следующим образом:. Составим систему уравнений на основе условий задачи.

F = 3x₁ + 2x₂  max,

X1, x2  0.

2. Графическое решение задачи линейного программирования

Рассмотрим вначале геометрическое истолкование системы ограничений задачи. Каждую совокупность значений переменных (x₁;x₂) можно изобразить точкой на плоскости, если ввести систему координат и по одной оси откладывать значениеx₁, а по другойx₂. Отметим прямые на плоскости. Так как стоит условиеx₁,x₂0, то искомая фигура находится в первой координатной четверти. Точки пересечения прямых означают максимально допустимое использование обоих ресурсов. Для определения оптимального плана необходимо привлечь целевую функцию.

Рис. 1. Многоугольник допустимых планов

Определение оптимального плана методом перебора вершин

Для нахождения оптимального плана необходимо найти координаты вершин многоугольника OABCDдопустимых планов, подставить значение х₁и х₂в целевую функцию и найти максимальное значение целевой функцииF.

Координаты вершины О (0; 0). Подставим значение х₁и х₂в целевую функцию и получимF= 30 + 20 = 0.

Координаты вершины А  (0; 8). Подставим значение х₁ и х₂ в целевую функцию и получим F = 3  0 + 2  8 = 16.

Координаты вершины В определяются из системы уравнений, связывающей ресурсы Сталь марки Cи Сталь маркиB:

Решив систему уравнений, получаем координаты вершины (8; 4). Подставим значение х₁и х₂в целевую функцию и получим:

F= 38 + 24 = 32.

Координаты вершины С определяются из системы уравнений, связывающей ресурсы Сталь марки Cи Сталь маркиA:

Решив систему уравнений, получаем координаты вершины (10; 2). Подставим значение х₁и х₂в целевую функцию и получим:

F= 310 + 22 = 34.

Координаты вершины D(10; 0). Подставим значение х₁и х₂в целевую функцию и получимF= 310 + 20 = 30.

Максимальное значение целевой функции равное 34 достигается в вершине Cс координатами (10; 2). Т.е. для получения наибольшей стоимости выпущенной продукции, равной 34 денежных единиц, предприятие должно выпустить 10 единиц изделия №1 и 2 единицы изделия №2.

Построение градиента и определение оптимального плана

Обратимся к целевой функции. Ее градиент есть вектор

= (3; 2).

Для решения задачи следует изобразить этот вектор в виде стрелки с началом в точке (0; 0) и концом в точке (3; 2), а также учесть ее направление.

Целевая функция задачи геометрически изображается с помощью прямой уровня, т.е. прямой, на которой F= c₁x₁+ c₂x₂принимает постоянное значение, равное С. Если Спроизвольная константа, то уравнение прямой уровня имеет вид c₁x₁+ c₂x₂= C. Все линии уровня целевой функции параллельны друг другу и перпендикулярны градиенту.

На рис. 5 пунктиром изображены линии уровня целевой функции (ЛУЦФ), соответствующие различным значениям целевой функции. Точкой минимума функции Fбудет точка первого касания линии уровня с областью допустимых планов. Точкой максимуматочка отрыва линии уровня от допустимого многоугольника.

Эти точки чаще всего совпадают с некоторыми вершинами допустимого многоугольника, хотя их может быть и бесчисленное множество, если линия уровня Fпараллельна одной из сторон допустимого многоугольника.

В своем крайнем положении линия уровня проходит через точку C. Таким образом, точкаCявляется оптимальным планом задачи. Это единственная точка, принадлежащая одновременно области допустимых планов и линии уровня в ее крайнем положении. Следовательно, наша задача обладает единственным оптимальным планом.

Выше были рассчитаны координаты точки С (10; 2).

Таким образом, оптимальный план предписывает выпустить 10 единиц изделия №1 и 2 единицы изделия №2. А оптимум целевой функции F_max= 310 + 22 = 34 денежных единиц.

3. Решение задачи линейного программирования методом симплекс-таблиц

Выше для примера была сформулирована математическая модель задачи:

F = 3x₁ + 2x₂  max,