Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Лысьвенский филиал

Курсовая работа

по дисциплине ПРОГРАММИРОВАНИЕ

тема: Действия с многочленами с целыми коэффициентами

Студентки Головковой Е.В. ___________

^{(подпись)}

Группа ИВТ-11-1

Шифр 11-03

Преподаватель: Шестаков А.П.

г. Лысьва, 2012

Оглавление

Оглавление 2

Введение

Как известно, многочлены – хорошо изученная тема в математике. Напомню, какое выражение называется многочленом. В математике многочлены (или полиномы) от одной переменной − это выражения вида c₀+c₁x+c₂x²∙∙∙+c_nxⁿ, где c_i − фиксированные коэффициенты, аx – переменная.

Над многочленами можно выполнять следующие действия:

1. сложение и вычитание многочленов

2. умножение одночлена на многочлен

3. умножение многочленов

4. разложение многочлена на множители.

Мне была поставлена следующая задача:

Реализовать в виде класса набор подпрограмм для выполнения операций с многочленами от одной переменной (первый многочлен степени m, второй - степени n):

1. сложение;

2. вычитание;

3. умножение;

4. деление с остатком;

5. операции отношения (равно, не равно);

6. возведение в натуральную степень k;

7. вычисление производной от многочлена;

8. вычисление значения в точке x₀.

Данная работа состоит из двух глав. В первой главе описаны основные сведения из теории многочленов, краткие теоретические сведения о классах и перегрузке операций, а во второй главе даётся описание методики решения поставленной задачи в среде программирования С++.

Глава I. Предварительные сведения

§ 1.1. Из теории многочленов

В этом параграфе рассмотрим операции с многочленами, которые будут использоваться нами в дальнейшем для реализации подпрограмм.

Сложение (вычитание) многочленов. Для того чтобы сложить (вычесть) два многочлена, надо соединить их знаком + или −, используя правило раскрытия скобок, привести подобные члены.

Пример 1. (3x²+3x−2)+(7x²−6x+5)=3x²+3x−2+7x²−6x+5=10x²−3x+3

Пример 2. (3x²+3x−2)−(7x²−6x+5)=3x²+3x−2−7x²+6x−5=−4x²+9x−7

Умножение одночлена на многочлен. Для того чтобы умножить одночлен на многочлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные одночлены сложить.

Пример 3. (3x⁵+2x⁴−4x³+5x)∙ (2x)=6x⁶+4x⁵−8x⁴+10x² 

Умножение многочлена на многочлен. Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить каждый член другого многочлена и полученные одночлены сложить.

Пример 4. (2−3x)∙ (2x−3)=4x−6−6x²+9x=−6x²+13x−6

Деление многочлена на многочлен с остатком. В алгебре деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x) , степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов f(x) и g(x), g(x)≠0, существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что

причем r(x)имеет более низкую степень, чем g(x) .

Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя g(x).

Покажем, что

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой.

4. Повторяем предыдущие шаги, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен q(x) = — частное деления, аr(x)=— остаток.