Тотожності алгебри Жегалкіна
Властивості кон'юнкції:
1)х (у z) = (х у) z — асоціативність
2)х у = у х — комутативність
3)х х = х — ідемпотентність
4)х 0 = 0, х 1 = х — дії з константами Властивості операції XOR (додавання за модулем 2):
5)х (у z) = (х у) z — асоціативність
6)х у = у х — комутативність операції XOR
7)х х = 0 — закон зведення подібних доданків
8)х 0 = х — операція з константою 0
9)х(у z) = ху xz — дистрибутивність відносно
Зображення заперечення:
х = х 1 |
x |
x |
х |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
Зображення диз'юнкції: |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
x y = xy x y
x y x y x y (x 1)(y 1)
=(х 1)(у 1) 1 = ху у х 1 1 =
=ху у х.
Поліном Жегалкіна
Поліномом Жегалкіна називається скінченна сума за модулем 2 попарно різних елементарних кон'юнкцій над множиною змінних (x1, x2, ..., xn).
Кількість змінних, що входять до елементарної кон'юнкції, називається рангом елементарної кон'юнкції.
Кількість попарно різних елементарних кон'юнкцій у поліномі називається довжиною полінома.
Зображення у вигляді поліному існує та єдине для кожної булевої функції.
Булева функція називається лінійною, якщо її поліном Жегалкіна не містить кон'юнкцій змінних.
Побудова поліному Жегалкіна аналітичним способом
Для побудови поліному Жегалкіна функції, що задана деякою формулою алгебри Жегалкіна, необхідно розкрити всі дужки в даній формулі за законом дистрибутивності і виконати всі можливі спрощення з використанням законів дій з константами, ідемпотентності і зведення подібних доданків.
Приклад. Зобразити поліномами Жегалкіна логічні функції імплікацію ( ) і еквівалентність (~).
Розв'язок. Спочатку запишемо ДДНФ даних функцій, потім виразимо операції диз'юнкції та заперечення через операції кон'юнкції та XOR.
x y = x y = (x 1) y = (x l) y (x l) y = = ху у х 1 у = ху х 1;
x ~ y = xy x y = x y x y xy x y = xy x y =
=ху (х 1)(y 1) = ху ху х у 1 =
=х у 1.
Приклад. Визначити, чи лінійні функції імплікації ( ) і еквівалентності (~).
Розв'язок. Проаналізуємо структуру формул, що виведені у попередньому прикладі.
x y = ху х 1;
Імплікація ( ) є нелінійною функцією,
x ~ y = х у 1.
Еквівалентність (~) — функція лінійна.
Приклад. Дослідити на лінійність функцію f(х, у, z) = (х у) z.
Розв'язок. Побудуємо поліном Жегалкіна функції f(х, у, z), використовуючи такі тотожності: х у= х у,
х у = ху х у, х = х 1: f(х, у, z)= (х у) z = = =
=(ху х y 1)(z 1) (ху х y 1) z 1 =
=хуz хz уz 1 z ху 1 х 1 у 1 1 1 ху
х у 1 z 1 =
=xyz хz yz z ху х y 1 ху х у
1 z 1 = хуz хz уz 1.
Функція f(х, у, z) = (х у) z не є лінійною, оскільки її поліном Жегалкіна містить кон'юнкції змінних.
Побудова поліному Жегалкіна методом невизначених коефіцієнтів
Метод невизначених коефіцієнтів засновано на тому, що для будь-якої булевої функції існує єдиний поліном Жегалкіна.
Приклад. Побудувати поліном Жегалкіна для функції f13(x, у) — імплікації, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.
Розв'язок. Запишемо поліном для даної функції у вигляді суми за модулем 2 всіх можливих елементарних кон'юнкцій для х, у з невизначеними коефіцієнтами:
f13(x, у) = х у = а1ху а2х а3у а4,
де коефіцієнти а1, а2, а3, а4 приймають значення з
множини {0, 1} і визначають присутність або відсутність елементарної кон'юнкції в поліномі.
Шукаємо послідовно значення коефіцієнтів, підставляючи значення змінних і функції на різних інтерпретаціях:
f13(0, 0) = 0 0 = 1,
1 = а1 0 0 а2 0 а3 0 а4 = а4 а4 = 1;
f13(0, 1) = 0 1 = 1,
1 = а1 0 1 а2 0 а3 1 1 =а3 1, а3 = 0;
f13(1, 0) = 1 0 = 0,
0 = а1 1 0 а2 1 а3 0 1 = а2 1 а2 = 1;
f13(1, 1) = 1 1 = 1,
1 = а1 1 1 1 1 1 0 1 = а1 1 1 = а1, а1 = 1.
Підставивши одержані значення коефіцієнтів одержуємо поліном Жегалкіна для функції f13:
х у = а1ху а2х а3у а4 = 1 ху 1 х 0 у 1 =