Розділ 2. Теорія відношень
2.1. Поняття відношення. Задання відношень
декартів добуток множин
бінарне відношення
способи задання відношень
окремі випадки відношень
Відношення реалізують у математичних термінах на абстрактних множинах реальні зв'язки між реальними об'єктами.
Декартовим добутком множин Х1 Х2 ... Хn
називається множина всіх можливих упорядкованих наборів (х1, х2, ..., хn) з n елементів (які називають кортежами довжини n), в яких перший елемент належить множині Х1, другий — множині Х2, n-й — множині Хn.
Декартів добуток Х Х ... Х, в якому одна й та ж множина Х помножується n раз сама на себе,
називають декартовим степенем множини і позначають Хn.
Приклад.
Нехай A={a1, a2, a3}, B={b1, b2}, C={c1, c2}. Тоді A B={(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a3,b2)}. B A={(b1,a1), (b1,a2), (b1,a3), (b2,a1), (b2,a2), (b2,a3)}.
A B C={(a1,b1,c1), (a1,b1,c2), (a1,b2,c1), (a1,b2,c2), (a2,b1,c1), (a2,b1,c2), (a2,b2,c1), (a2,b2,c2), (a3,b1,c1), (a3,b1,c2), (a3,b2,c1), (a3,b2,c2)}.
B2={(b1,b1), (b1,b2), (b2,b1), (b2,b1)}.
Порядок проходження пар може бути довільним, але розміщення елементів у кожній парі визначається порядком проходження множин, що перемножуються, тобто A B B A якщо A B.
n-арне відношення R на множинах Х1, Х2,..., Хn –
це підмножина декартова добутку цих n множин:
R Х1 Х2 ... Хn
Якщо R – бінарне відношення на множинах X, Y, то факт (x,y) R часто записується у вигляді xRy
Приклад.
Нехай A={a1, a2, a3}, B={b1, b2}, C={c1, c2}. Тоді
A B C={(a1,b1,c1), (a1,b1,c2), (a1,b2,c1), (a1,b2,c2), (a2,b1,c1), (a2,b1,c2), (a2,b2,c1), (a2,b2,c2), (a3,b1,c1), (a3,b1,c2), (a3,b2,c1), (a3,b2,c2)}.
R1, R2 A B C R1={(a1,b1,c1),(a2,b1,c1),(a2,b1,c2),(a3,b2,c1),(a3,b2,c2)}. R2={(a2,b2,c1), (a2,b2,c2), (a3,b1,c1)}.
Способи задання відношень
Нехай A={2, 3, 4, 6}, B={4, 6}.
R1 A B, R2 A А
R1, R2 – бути дільником
список
R1 = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(6,6)},
R2 = {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(6,6)}
Способи задання відношень
матриця (таблиця) W=W(R);
wij=1, якщо (xi, yj) R і wij=0, якщо (xi, yj) R
R1 |
4 |
6 |
R2 |
2 |
3 |
4 |
6 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
4 |
1 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
6 |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Способи задання відношень
граф
R1 R2
2 |
2 |
4 |
3 |
4 |
|
4 |
6 |
|
6 |
3 |
6 |
|
|
Окремі випадки відношень
а1 |
а1 |
а2 |
а1 |
а2 |
а2 |
|
|
|
а3 |
а4 |
а3 |
а4 |
а3 |
а4 |
|
|
Тотожне |
Повне |
Порожнє |
відношення |
відношення |
відношення |
|
R = А2 |
R = |
2.2. Операції над відношеннями
обернене відношення
композиція відношень
степінь відношення
переріз відношення
фактор-множина
Нехай A={2, 3, 4, 6}, R1, R2 A А
R1 = {(2,4),(2,6),(4,3),(3,6),(6,6)},
R2 = {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(6,6)}
R1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
R2 |
2 |
3 |
4 |
6 |
|||
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|||
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||
6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|||
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
6 |
3 |
6 |