Розділ 5. Теорія графів
5.12. Мережі
дослідження перерізів і циклів у графі
течії у мережах
мережі з багатьма джерелами і стоками
Дослідження перерізів і циклів у графі
В орієнтованому графі G=(X,Y,f) кожному циклу q (тобто замкненому ланцюгу) можна поставити у відповідність вектор-цикл q за таким правилом: компонента qi рядку дорівнює нулю, якщо дуга уi
не входить до циклу q; якщо ж уi q, то qi=1 або qi=-1 залежно від того, співпадає чи ні напрямок дуги уi з обраним додатним напрямком обходу циклу.
Циклу q={у1, у2, у4, у6} у графі відповідає вектор-цикл
у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7
q = (-1 1 0 1 0 -1 0)
Будь-яка максимальна лінійно незалежна множина вектор-циклів, об'єднаних за рядками у матрицю
Q, називається матрицею циклів графа (іноді Q
називається «базисною матрицею циклів», а матрицею циклів — сукупність всіх векторів- циклів, взагалі кажучи, лінійно залежних).
Перерізом (розрізом) s графа G називається певна підмножина дуг, видалення якої збільшує число компонент зв'язності, тому підграф G\s
складається з двох диз'юнктних частин G1 і G2, зв'язок між якими у графі G здійснюється тільки дугами перерізу s.
Переріз графа |
Переріз навколо вершини |
Для перерізу (як і для циклу) довільно вводиться орієнтація — напрямок від одного боку перерізу до іншого. Вектор-переріз s — це рядок s, у
якого компонента si=0, коли дуга уi не входить у переріз s. Якщо дуга уi належить перерізу узгоджено з обраною орієнтацією перерізу, то si=1; якщо не узгоджено, то si=-1. Для перерізу s={у3, у4, у6} у графі вектор-переріз дорівнює:
у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7
s = (0 0 -1 1 0 1 0)
Матриця S, рядки якої утворюють максимальний лінійно-незалежний набір вектор-перерізів, називається матрицею перерізів (або «базисною матрицею перерізів», на відміну від матриці всіх перерізів графа) графа G. Стовпці матриць перерізів і циклів нумеруються однаково — дугами графа, а число їх рядків у загальному випадку різне.
Теорема Пуанкаре. В графі G з m дугами кожний вектор-цикл ортогональний будь-якому вектору- перерізу.
q s T (q, s)Rm 0
Каркас Т зв'язного графа G=(X,Y,f) є, очевидно, деревом Т = (X, YT, fT), що містить всі вершини графа. Дуги графу, що не ввійшли до каркасу, називають хордами.
Наприклад, один з каркасів графа G зображений товстими лініями (каркас «великої ведмедиці») і відповідно хорди {y7, y8, y9, y10} — тонкими лініями.
Переріз s називається фундаментальним (за деревом Т), якщо він містить точно одну дугу уk дерева Т, а орієнтація перерізу s узгоджена з орієнтацією дуги уk. Здання дуги дерева повністю визначає відповідний фундаментальний переріз.
На графі пунктирами зображено фундаментальні перерізи s1, s2, ..., s6 за деревом Т «велика ведмедиця».