Правило введення квантора загальності

F(c) для довільного с DxF(x)

стверджує істинність x F(x), якщо доведена істинність F(c) для будь-якого с, тобто для всіх елементів с з розглянутої предметної області D.

Правило видалення квантора існування

в істинній формулі х F(x) полягає в позначенні імені елемента с (конкретного або гіпотетичного), для якого F(c) істинне:

xF(x)

F(c) для довільного с D

Правило введення квантора існування

F(c) для довільного с DxF(x)

дозволяє вирішити, що х F(x) є істинним, коли відомий деякий елемент с, для якого істинне F(c).

Крім наведених правил, у логіці предикатів у ході дедуктивного висновку можна використовувати всі правила, які застосовуються для дедуктивних висновків у логіці висловлень.

Приклад. Показати, що з тверджень «Всі у першій групі вивчають математику» і

«Маша — студентка першої групи» маємо висновок: «Маша вивчає математику».

Розв'язок. Позначимо через F(x) предикат «х є студент першої групи», а через М(х)—«x вивчає математику». Тоді засновки можна записати у вигляді:

x (F(x) М(х)) і F(Маша),

а потрібний висновок — М(Маша).

Для одержання цього висновку необхідно здійснити таку послідовність дій:

6.8.Обчислення предикатів

структура обчислення предикатів

правила відділення та узагальнення

правила і -введення

перейменування вільних і зв'язаних змінних

Аналогічно обчисленню висловлень в логіці предикатів існує формальна система — обчислення предикатів, яка займається конструюванням формул і доведенням їх загально-значущості. Обчислення предикатів має ідентичну обчисленню висловлень структуру, а саме: мову, систему аксіом і правила висновку.

Аксіоми обчислення предикатів можна поділити на дві групи:

1) Аксіоми обчислення висловлень (можна обрати будь-яку з формальних систем S1, S2)

2) Предикатні аксіоми, де змінна х у формулі F(x) є вільною і жодного разу не піддається дії квантора за

у: P1) x F(x) F(y); P2) F(y) x F(x).

Формула F(y) одержана з F(x) заміною х на у.

Для з'ясування сенсу вимоги до входжень х у F(x) розглянемо як F(x) формулу у Р(у, х), в якій вільне входження х знаходиться в області дії квантора у, тобто зазначена вимога не задовольняється. Підстановка даної формули до аксіоми Р1 дає таку формулу: x у Р(у, х) у Р(у, у).

Якщо одержану формулу проінтерпретувати на множині натуральних чисел N з предикатом Р «бути більше», то одержимо висловлення: «якщо для всякого х знайдеться у, який більше нього, то знайдеться і у, більший за самого себе». Засновок цієї імплікації істинний на N, а його висновок хибний, тому всі висловлення є хибними.

В обчисленні предикатів використовуються такі правила висновку:

1) Правило відділення (Modus Ponens), повністю

переноситься з обчислення висловлень

A, A B

B

2) Правило узагальнення ( -введення):

F G(x)

F xG(x)

де G(x) містить вільні входження х, a F їх не містить. 3) Правило -введення:

G(x) F

xG(x) F

де G(x) містить вільні входження х, a F їх не містить.

4) Правило перейменування вільних зміннних

В обчисленні предикатів з вивідності формули F(x), що містить вільні входження х, жодне з яких не знаходиться в області дії квантора за у, виходить вивідність F(y).

Доведення.

1.F(x) (за умови).

2.F(x) (G F(x)) (аксіома 1 формальної системи S2; тут як G

можна обрати будь-яку довідну формулу, що не містить вільних входжень змінних x; довідність цієї формули знадобиться на кроці 5, а обмеження на х — на кроці 4).

3.G F(x) (за правилом відділення, кроки 1, 2).

4.G x F(x) (за правилом узагальнення, крок 3).

5.x F(x) (наслідок з кроку 4, оскільки G — істинна формула).

6.F(y) (крок 5, аксіома Р1)

Правило доведено.

5) Правило перейменування зв'язаних змінних

В обчисленні предикатів з вивідності x F(x) виходить вивідність y F(y), а з вивідності х F(x)

— вивідність у F(y) за умови, що F(x) не містить вільних входжень у і містить вільні входження х, жодне з яких не входить до області дії квантора за у.

Доведення.

1.x F(x) (за умови).

2.x F(x) F(y) (аксіома P1).

3.x F(x) y F(y) (правило узагальнення, крок 2).

4.y F(y) (кроки 1, З). Правило доведено.

Необхідно зауважити, що доведення для квантора здійснюється аналогічно, але використовує аксіому Р2 і правило -введення.

6.9. Метод резолюцій

Існують комп'ютерні програми, котрі розроблено для автоматизації міркувань, виконуваних за допомогою доведення логічних теорем. У багатьох із цих програм використано правило виведення, відоме як резолюція.

Правило резолюції записують у вигляді p q, p r├ q r.

На основі цього правила Дж. Робінсон (G.Robinson) 1965 p. запропонував метод резолюцій автоматичного доведення логічних теорем.