2. Комутативні властивості кванторів

( х) ( у) Р(х, у) = ( у) ( х) Р(х, у); ( х) ( у) Р(х, у) = ( у) ( х) Р(х, у).

Змінювати місцями можна тільки однойменні квантори.

( x) ( у) Р(х, у) ≠ ( у) ( х) Р(х, у).

3. Дистрибутивні властивості кванторів

( x) F(x) G = ( x)(F(x) G); ( x) F(x) G = ( x)(F(x) G); ( x) F(x) G = ( x)(F(x) G); ( x) F(x) G = ( x)(F(x) G),

де G — формула логіки предикатів, яка не містить х; ( x) F(x) ( х) Н(х) = ( x) (F(x) H(х));

( x) F(x) ( х) H(х) = ( x) (F(x) H(x)).

Сформульований дистрибутивний закон справедливий тільки для квантора загальності при кон'юнкції і квантора існування при диз'юнкції , оскільки інші комбінації призводять до нерівностей:

( x) F(x) ( х) H(х) ≠ ( x) (F(x) H(х)); ( x) F(x) ( х) H(х) ≠ ( x) (F(x) H(х)).

Для подолання цього обмеження дистрибутивного закону, слід використовувати заміну зв'язаної змінної:

( x) F(x) ( х) H(х) = ( x) F(x) ( у) H(у) = = ( x) ( y) (F(x) H(y));

( x) F(x) ( х) H(х) = ( x) F(x) ( у) H(у) = = ( x) ( y) (F(x) H(y)).

Таким чином, у загальному випадку дистрибутивні властивості кванторів можна записати такою схемою:

(Q1x) F(x) (Q2y) H(у) = (Q1x) (Q2y) (F(x) H(у)); (Q1x) F(x) (Q2y) H(у) = (Q1x) (Q2y) (F(x) H(y)), де Q1, Q2 — будь-який з кванторів або .

4. Закон де Моргана для кванторів

¬(( x) F(x)) = ( x) ¬F(x); ¬(( x) F(x)) = ( x) ¬F(x).

Приклад. Нехай предикат F(x) означає, що «х є простим числом». Коли х послідовно приймає значення ряду натуральних чисел — х={1,2,3,4,5,...}, предикат відповідно:

F(l) = X, F(2) =I, F(3) = I; F(4) = X, F(5) = I,....

¬(( x) F(x)) = «не всі х є простими числами» =

=«існують такі х, які є непростими числами» =

=( х)¬F(x) = І.

Обидва наведені висловлення істинні.

¬(( x) F(x)) = «немає жодного х, яке було б простим» = = «всі х є непростими числами» = ( x)¬(x) = X.

Ці висловлення є хибними.

6.7. Випереджені нормальні форми і логічний висновок у логіці предикатів

випереджена нормальна форма

алгоритм зведення до випередженої нормальної форми

правила видалення/введення квантора загальності/існування

Літералом називають атом або його заперечення. Приклади літералів — р, q, r.

Літерал називають позитивним, якщо він не має знака заперечення, і негативним, якщо має.

Пару літералів {р, р} називають контрарною.

Говорять, що формулу f записано в кон'юнктивній

нормальній формі (КНФ), якщо вона має вигляд

f = f1 f2 ... fn (п 1),

де кожна з формул fi — літерал або диз'юнкція літералів і всі формули fi (і = 1, 2,..., п) різні.

Говорять, що формулу f записано в диз'юнктивній нормальній формі (ДНФ), якщо вона має вигляд

f = f1 f2 ... fn (п 1),

де кожна з формул fi — літерал або кон'юнкція літералів і всі формули fi (і = 1, 2,..., п) різні.

Довільну формулу можна перетворити в одну з нормальних форм, застосувавши закони логіки висловлювань.

В логіці предикатів вводиться третя нормальна форма, що називається випередженою нормальною формою.

Формула F в логіці предикатів знаходиться у

випередженій нормальній формі (ВНФ) тоді і тільки тоді, коли вона може бути зображена у вигляді

(Q1x1)... (Qnxn)(M),

де кожне (Qixi), і = 1, ..., п, є або ( x), або ( х),

аМ— формула, що не містить кванторів. Причому (Q1x1) ... (Qnxn) називається префіксом,

аМ — матрицею формули F.

Перетворення виразів довільної форми у ВНФ

1.Виключити логічні зв'язки еквіваленції (~) та імплікації ( ), виразивши їх через операції диз'юнкції, кон'юнкції і заперечення за допомогою таких законів:

F G = ¬F G;

F ~ G = (¬F G) (¬G F) = ¬F ¬G F G.

2.Опустити знаки операцій заперечення безпосередньо на предикати, використовуючи закон подвійного заперечення ¬(¬F)=F і закони де Моргана

¬(F G)=¬F ¬G; ¬(F G)=¬F ¬G

у тому числі для кванторів:

¬(( x) F(x)) = ( х) (¬F(x)); ¬(( x) F(x)) = ( x) (¬F(x)).

3.Якщо необхідно, перейменувати зв'язані змінні.

4.Винести квантори на початок формули, використовуючи відповідні закони, для одержання випередженої нормальної форми.

Приклад. Звести ( x)F(x) ( x)H(x) до ВНФ. Розв'язок. Спочатку виключимо імплікацію, потім

опустимо знак операції заперечення безпосередньо на предикат і винесемо квантор на початок:

( x) F(x) ( х) H(х) = ¬(( x) F(x)) ( х) H(х) = = ( х) (¬F(x) ( х) H(х) = ( х) (¬F(x) H(х)).

Приклад. Одержати ВНФ для формули

G≡ ( x)( y)(( z)(P(x, у) Р(у, z)) ( z)R(x, у, z)). Розв'язок. Скористаємося наведеним вище алгоритмом.

G= ( x)( y)(¬(( z)P(x, z) Р(у, z)) ( z) R(х, у, z)) =

=( x)( y)(( z)(¬P(x, у) ¬P(y, z)) ( u) R(х, у, u)) =

=( x)( y)( z)( u)(¬P(x, у) ¬P(y, z) R(х, у, u)).

Розглянемо правила висновку, які можна використовувати для проведення дедуктивних умовиводів з висловленнями логіки предикатів, що містять квантори.

Правило видалення квантора загальності

xF(x)

F(c) для довільного с D

використовується для доведення істинності F(c), де с — довільно обраний елемент предметної області D, у якій справедливе x F(x). Наприклад, із засновку «Всі студенти бажають одержувати добрі оцінки» робимо висновок: «Студент Петров бажає одержувати добрі оцінки».