6.4.Квантори

квантор загальності

квантор існування

зв'язана та вільна змінна

зменшення порядку п-місних предикатів

При визначенні істиннісного значення предиката неабиякий інтерес становить питання: чи є він істинним при будь-якому значенні предметної змінної або чи існує хоча б одне значення змінної, при якому цей предикат істинний.

Наприклад, твердження «Всі прості числа мають два дільника» можна формалізувати за допомогою предиката МАТИ_ДВА_ДІЛЬНИКА(х), який є істинним для всіх х у предметній області простих чисел. Твердження «Існують натуральні числа, які не діляться на 2» означає, що предикат ДІЛИТЬСЯ_НА_2(х) істинний не для всіх х у предметній області натуральних чисел.

Нехай Р(х) — предикат, визначений на М. Висловлення «для всіх х М, Р(х) істинне» позначається x P(x). називається квантором

загальності.

Квантори керують областю значення змінної, наступної за символом квантора. Якщо застосовується квантор загальності, то ми говоримо, що висловлення істинне для всіх х з деякої множини.

Висловлення «існує таке х М, що Р(х) істинне» позначається х Р(х), де знак називається

квантором існування.

Квантор існування застосовується, коли треба вказати, що існує хоча б одне значення змінної, для якого істинне це висловлення.

В логіці предикатів (або першого порядку) існує таке обмеження: не можна застосовувати квантори до предикатів. Наприклад, не можна записатиР Р(х). Однак такі операції здійсненні у логіках більш високих порядків.

Перехід від Р(х) до х Р(х) або х Р(х) називається зв'язуванням змінної х, а сама змінна х у цьому випадку — зв'язаною.

Змінна, не зв'язана ніяким квантором, називається

вільною.

Приклад. Записати у вигляді предикатів з кванторами такі висловлення:

«Всі студенти складають іспити», «Деякі студенти складають іспити на відмінно».

Розв'язок. Введемо предикати: Р — «складати іспити»

Q — «складати іспити на відмінно».

Предметна область даних предикатів являє множину студентів. Тоді вихідні вирази набудуть вигляду:

(x) Р(х) і (х) Q(x).

Застосування кванторів до багатомісних предикатів зменшує кількість вільних змінних, від яких залежить цей предикат.

Нехай А(х, у) — деякий двомісний предикат, визначений на довільній множині М. Квантор

загальності і квантор існування можна застосувати до неї як для змінної х, так і для змінної у:

х А(х, у); у А(х, у); х А(х, у); у А(х, у).

Всі чотири наведені вирази є записами одномісних предикатів від відповідної вільної змінної.

Так, х А(х, у) — одномісний предикат від змінної у: х А(х, у) = F(y). Предикат F істинний точно для таких елементів b М, для яких предикат А(х, b) істинний на всіх значеннях аргументу х.

Квантор загальності можна інтерпретувати як узагальнення кон'юнкції, а квантор існування — як узагальнення диз'юнкції.

Насправді, якщо область визначення М предиката Р скінченна, наприклад, М={а1, а2, ..., аn}, то

висловлення x P(x) еквівалентне кон'юнкції

Р(а1) Р(а2) ... Р(аn), а висловлення х Р(х)— диз'юнкції Р(а1) P(а2) ... P(аn).

Як приклад розглянемо предикат Р(х), який означає «х — непарне число» і визначений на області М = {а, b, с}. Висловлення x Р(х) означає: «а — непарне число, і b — непарне число, і с — непарне число»; а висловлення х Р(х) означає те ж, що і диз'юнкція «а — непарне число, або b — непарне число, або с— непарне число».

6.5.Формули у логіці предикатів

елементарна формула

правильно побудовані формули

область дії квантора

інтерпретація формул логіки предикатів

загальнозначущі та суперечливі формули, логічний наслідок

Використовуючи поняття предиката, квантора і терма, можна визначити поняття формули у логіці предикатів.

Якщо Р — n-місний предикат і t1, ..., tn — терми, то

P(t1,...,tn) називається атомом або елементарною формулою логіки предикатів.

Наприклад: ДІЛИТЬСЯ(х, 13), ДІЛИТЬСЯ(х, у), БІЛЬШЕ(плюс(x, 1), x), ДОРІВНЮВАТИ(х, 1), СКЛАДАТИ(студенти, сесії).