Розділ 6. Математична логіка
6.3.Логіка предикатів
порядок предиката
область визначення предиката
терм
предметні змінні та константи
Назва “предикат” походить від англійського слова predicate, що означає “висловлення” або “присудок”. Предикатом частіше всього позначають властивість або дію, виражену у висловленні присудком, а об'єкти і суб'єкти цієї дії, а також інші члени речення є аргументами даного предиката. Для позначення предиката часто обирають слово, що відбиває його змістове значення, або заголовну букву латинського або іншого алфавіту.
Визначено деякий предикат, якщо:
1)задана деяка (довільна) множина М, що називається областю визначення предиката (предметна область);
2)фіксована множина {1, 0}, що називається областю значень;
3)вказане правило, за допомогою якого кожному елементу, що взятий з предметної області, ставиться у відповідність один з двох елементів з області значень.
Поняття предиката є частковим випадком поняття функції, для якої чітко фіксована область значень.
Предикат Р, що має n аргументів, називається n-
місним предикатом, позначається Р(х1, х2, ..., хn).
Кількість аргументів предиката Р(х1,х2,...,хn) називається його порядком.
Наприклад, висловлення «х — дійсне число» можна зобразити одномісним предикатом, «у менше z» — двомісним предикатом, а «х і у батьки z» — трьохмісним предикатом.
Якщо х, у і z заміщені конкретними значеннями (об'єктами), то предикат переходить у висловлення, яке розглядається як нульмісний предикат. Наприклад: «Терм і квантор — поняття логіки предикатів». Таким чином, якщо кількість
аргументів предиката Р(х1, х2, ..., хn) п змінних дорівнює нулю, то предикат є висловленням.
Приклад. Зобразити у вигляді предикатів висловлення: «х ділиться на 13», «х ділиться на у», «х — просте число».
Розв'язок. Оберемо як назву предикатів дії або властивості цих речень: ДІЛИТЬСЯ, ПРОСТЕ. Тоді задані висловлення можна записати у вигляді предикатів таким чином:
ДІЛИТЬСЯ(х, 13), ДІЛИТЬСЯ(х, у), ПРОСТЕ(х).
Тут перший і третій предикати є одномісними і кожний виражає деяку властивість числа х; другий предикат — двомісний і виражає бінарне відношення подільності на множині чисел.
Для побудови атомів логіки предикатів дозволяється використовувати такі типи символів:
Індивідуальні символи або константи, які звичайно є іменами об'єктів, наприклад: Сократ, 13.
Символи предметних змінних, за які звичайно беруться букви латинського алфавіту, можливо, з індексами, наприклад: х, у, z.
Функціональні символи — рядкові букви латинського алфавіту або осмислені слова з рядкових букв, наприклад: мінус, батько.
Предикати — великі букви або осмислені слова з великих букв, наприклад: Р, Q, ДІЛИТЬСЯ, БІЛЬШЕ, ПРОСТЕ.
Аргументи предиката називаються термами. Терм визначається рекурсивно таким чином:
1.Константа є терм.
2.Змінна є терм.
3.Якщо f є n-місним функціональним символом, a
t1, t2, ..., tn — терми, то f(t1, t2, ..., tn) є терм.
4. Ніяких термів, крім породжених за допомогою вказаних вище правил, не існує.
Терми приймають значення із заздалегідь визначеної множини, яка називається предметною областю М.
Терми-константи і терми-змінні називаються
предметними константами і предметними змінними.
Приклад. Зобразити у вигляді предикатів такі речення:
1)«Студенти складають сесію».
2)«Число х + 1 більше числа х».
Розв'язок.
1)Речення «Студенти складають сесію» може приймати значення «Істина» або «Хибність», тому його можна зобразити у вигляді предиката. У внутрішній структурі цього речення можна виділити присудок «складають», підмет «студенти» і доповнення «сесію». Останні можна розглядати як предметні константи. Таким чином, одержуємо нульмісний предикат СКЛАДАТИ(студенти, сесію).
2)Присудком у цьому реченні є слово «більше». Зобразимо підмет «x + 1» і доповнення «х» у вигляді термів. Причому терм «х + 1» має внутрішню структуру, оскільки його можна зобразити за допомогою функціонального символу плюс(х, 1). Тоді вихідне речення прийме вигляд двомісного предиката: БІЛЬШЕ(плюс(х, 1), х). Тут х — предметна змінна, а 1 — константа.
Приклад. Перекласти на природну мову такі висловлення логіки предикатів:
1)ДОРІВНЮВАТИ(х, 5).
2)ЗНАТИ(папа (Вася), математика).
Розв'язок.
1) Предикат ДОРІВНЮВАТИ(х, 5) відповідає твердженню «х дорівнює 5» природної мови. Тут 5 — константа, х — предметна змінна.
2) У висловленні ЗНАТИ (папа (Вася), математика) функціональний символ «папа (х)» приймає значення з множини людей, що відповідає відношенню «бути батьком х». Тому вираз папа(Вася) слід інтерпретувати як «Васін папа». Таким чином, предикат ЗНАТИ(папа(Вася), математика) відповідає реченню «папа у Васі знає математику» природної мови. Тут «Вася» і «математика» є константами, а х — предметна змінна.