Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В. - Математический анализ Контрольные работы по математике. Часть 2

Добавил:

Spashcool Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

Математический анализ

Файл:

с переменным верхним пределом

2t2 + 4t +1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2013

Размер:

531.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Вариант 30

1. Вычислить интегралы

а) ∫	(x + x2 +9)	(5x +3)		dx	б) ∫	sin (ln(5x)) dx
а) ∫	(x2 +9)(x +3)(x −2)			dx	б) ∫	sin (ln(5x)) dx
	(x2 +9)(x +3)(x −2)
в) ∫ sin(3x) cos(5x) dx					г) ∫		1		dx
в) ∫ sin(3x) cos(5x) dx					г) ∫				dx
						(5 − x2 )3
2. Вычислить определенный интеграл						π 2	sin x cos3 x dx
2. Вычислить определенный интеграл						∫	sin x cos3 x dx
						0
3. Найти несобственный				интеграл		или		установить его
	+∞
	⌠ ln2 xdx		.
расходимость:			.
		x
	⌡	x
	3

4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x3, y = x2 + 2x.

5.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy

фигуры, ограниченной линиями: xy = 2, y =1, x = 0.

6. Вычислить двойной интеграл	∫∫ (xy −9x5 y5 ) dx dy
	D
по области D : x =1; y = −x2 ; y = 3 x	(x ≥ 0).

Область интегрирования указать на рисунке. 7. Найти производную от интеграла

Решение варианта №30.

1. Вычислить интегралы

а) ∫	(x + x2 +9)(5x +3)		dx	б) ∫	sin (ln(5x)) dx
	(x2 +9)	(x +3)(x −2)

в) ∫ sin(3x)		cos(5x) dx		г) ∫	1	dx
					(5 − x2 )3

а) ∫	(x + x2 +9)(5x +3)		dx
	(x2 +9)	(x +3)(x −2)

Для вычисления интеграла от правильной рациональной дроби нужно разложить ее на простейшие дроби, применив метод неопределенных коэффициентов:

(x + x2 +9)(5x +3)	=	A	+	B	+	Cx + d	,	откуда
(x2 +9)(x +3)(x −2)
		x +3		x −2		x2 +9

5x3 +8x2 + 48x + 27 =

= A(x −2)(x2 +9)+ B(x +3)(x2 +9)+(Cx + D)(x −2)(x +3)

Подставляя в это соотношение поочередно x = 2 , x = −3, x = 0 и x =1 (эти числа дают наиболее простые уравнения

линейной системы), получим

195 = 65B

−180 = −90A		откуда
	= −18A + 27B −6D
27
88 = −10A + 40B +(C + D)(−4)

B = 3

A = 2 ,D = 3C = 0

тогда

I = ∫

dx = 2 ln

x +3

−3ln

x −2

+ arctg

x +3

x −2

Ответ: 2 ln x +3 −3ln x −2 + arctg 3x +с

б) ∫ sin (ln(5x)) dx

Вычисление данного интеграла требует двукратного применения процедуры интегрирования «по частям»:

1шаг:

U = sin(ln(5x))

, тогда

= cos(ln(5x))

5 dx

dV = dx

V = x

I = sin(ln(5x)x − ∫x cos(ln(5x))1 dx,

что

после

сокращения

на

имеет

вид

I = sin(ln(5x)x − ∫cos(ln(5x))dx

2 шаг:

U = cos(ln(5x))

, тогда

dU = −sin(ln(5x))

dV = dx

V = x

откуда

I = sin(ln(5x)x −(cos(ln(5x))x +∫x sin(ln(5x))

5dx .

После сокращений имеем

I = sin(ln(5x)x −(cos(ln(5x))x +∫sin(ln(5x))dx

или,

перенося

левую

часть

уравнения

I ,

2I = sin(ln(5x)x −(cos(ln(5x))x

откуда

I =

(

sin(ln(5x)x −(cos(ln(5x))x ) ) +с

Ответ: 12 ( sin(ln(5x)x −(cos(ln(5x))x ) )

в) ∫ sin(3x) cos(5x) dx

Вычисление этого интеграла требует применения формулы тригонометрических преобразований

sin x cos y = 1 (sin(x − y) +sin(x + y)),																			тогда
				2
I =		1	∫	(sin(3x −5x) +sin(3x +5x))dx =												1 ∫(−sin(2x) +sin(8x))dx =
	1	2	1				1							1		2	1
	1		1				1							1			1
=				cos(2x) −				cos(8x)					+c =		cos(2x) −				cos(8x) +c
=	2			cos(2x) −			8	cos(8x)					+c =	4	cos(2x) −		16		cos(8x) +c
	2	2					8							4			16
Ответ:					1	cos(2x) −				1	cos(8x) +c
Ответ:				4		cos(2x) −			16		cos(8x) +c
				4					16
г) ∫				1			dx
г) ∫			(5 − x2 )3				dx
			(5 − x2 )3
Вычисление этого интеграла требует стандартной замены
переменной x =								5 sin t,					dx =	5 cos t dt , тогда
I = ∫					5 cost dt					= ∫		5 cost dt = ±∫				dt		= ± tgt +c ,
				(5 −5sin2 t)3								5 cost 3				cos2 t

где t = arcsin x5 . Знак «плюс» или «минус» должен

выбираться в зависимости интеграл неопределенный переменной не оговорена, интегралом ±.

от	знака	cos t ;	поскольку
и	область		изменения
разумно		оставить перед

Ответ: ± tgt +c , где t = arcsin	x
	5
	π 2
2. Вычислить определенный интеграл ∫ sin x cos3 x dx
	0

Для решения этой задачи заметим, что d(cos x)= −sin x dx ,

								π 2	cos3 x d(cos x)= −cos	4	x		π 2
								π 2		4
тогда							I = − ∫						=
тогда							I = − ∫						=
							0		4
							0		4			0
												0
	1		π				1
= −		cos4		−cos4	0	=
= −	4	cos4	2	−cos4	0	=	4
	4		2				4

Ответ: 14 3. Найти несобственный интеграл или установить его

		+∞	xdx
		⌠ ln 2	xdx	.
расходимость:			x	.
		⌡	x
		3
			+∞				b
	Так	как	⌠			= lim	⌠		,	то
	Так	как	f (x)dx			= lim	f (x)dx		,	то
			⌡			b→ +∞	⌡
				a			a
+∞		b	xdx
⌠ ln 2 xdx		⌠ ln 2	xdx		=
	x	= lim	x		=
⌡	x	b→ +∞ ⌡	x
3		3
	b						b
	⌠				1 lim	ln3 x \|	b	1 lim	(ln3 b − ln3
=	⌠						=			3) = +∞
=	lim ln2 xd (ln x) =						=			3) = +∞
	b→ +∞ ⌡				3 b→ +∞		3	3 b→ +∞
	3

Ответ: данный интеграл расходится.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x3, y = x2 + 2x.


Найдем		координаты	точек	пересечения
y = x3,	y = x2 + 2x. Для этого решим уравнение:			x3 = x2 + 2x .
Данное	уравнение имеет три		корня: x = −1,	x = 0, x = 2 .

Таким образом, площадь получающейся фигуры, похожей

на								«восьмерку»											равна:
S = ∫0 (x3 −(x2 + 2x))dx + ∫2 ((x2 + 2x)− x3 )dx =
	−1								0
x4			x3	− x	2	0	x3		+ x	2		x4	2	5		8		37
x4			x3		2	0	x3			2		x4	2	5		8		37
=		−					+				−		=		+		=		.
=	4	−	3				+				−	4	=	12	+	3	=	12	.
	4		3			−1	3					4	0	12		3		12
						−1	3						0

Ответ: 1237 .

5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями: xy = 2, y =1, x = 0 .

∞

−

4π

Vy =π

dy = lim π

dy = lim

= 4π .

∫1

b→+∞

Ответ: 4π .

6. Вычислить двойной интеграл ∫∫

(54x2 y2 +150x4 y4 ) dx dy

по области D : x =1; y = x2 ;

y = −3 x

(x ≥ 0).

Область интегрирования указать на рисунке.

Для вычисления этого интеграла заметим, что при x ≥ 0

кривая y = x2 , очевидно, расположена выше кривой y = −3 x ,

поэтому сводить двойной интеграл к повторному нужно

следующим образом: I = 1∫dx

x∫2(54x2 y2 +150x4 y4 )dy =

−3

54x

150x

= ∫dx

−

= 1∫dx (18x2 ((x2 )3 −(−3 x)3 )+30x4 ((x2 )5 −(−3 x)5 ) )=

=1∫dx (18x2 (x6 + x)+30x4 (x10 + x53 ))= 0

=1∫dx (18x8 +18x3 +30x14 +30x173 )= 0

=	18x9		1	+	18x4		1	+	30x15	1	+30	x20 3	=

		9	0			4	0		15	0		20 3

= 2 + 4,5 + 2 + 4,5 =13

Ответ: 13 7. Найти производную от интеграла с переменным верхним

	d	x
пределом		∫arcsin(5t2 −4)	dt

	dx 0

Заметим, что производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подинтегральной функции на этом пределе, поэтому

d	x		= arcsin(5x2	−4)
	∫arcsin(5t2 −4)	dt

dx 0

Ответ: arcsin(5x2 −4)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
27.05.20132.29 Mб59matan1.doc
#
27.05.20137.09 Mб40matan3.doc
#
27.05.2013307.84 Кб74Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I.pdf
#
27.05.2013531.75 Кб58Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В. - Математический анализ Контрольные работы по математике. Часть 2.pdf
#
27.05.2013406.9 Кб57Свирщевский - Вопросы и задачи по математическому анализу.pdf