Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В. - Математический анализ Контрольные работы по математике. Часть 2

8. Доказать

выпуклость

функции

f

= 28xy +126xz −10 yz +ex +5ey +53x2

+74 y2

+82z2

Нетрудно

заметить,

что

f

= 28xy +126xz −10 yz +ex +5ey +53x2

+74 y2

+82z2

=

= (7x +9z)2 +(2x +7 y)2 +(z −5y)2 +ex +5ey представляет

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1.

Вычислить интегралы

а) ∫

(x +3)(x + 4)

dx

б) ∫cos(3x)(6x2 + x +3)dx

2

(x −2)(x −6)

в) ∫

1

dx

г) ∫

x −1

dx

2sin x +sin 2x

2x −

1

2.

Вычислить определенный интеграл

e2 +1

1+ln(x −1)

dx

∫

x −1

e+1

3.

Найти несобственный

интеграл или установить его

∞

расходимость: ∫e−x sin x dx

0

4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = −x2 + x +6 и y = 6 −3x.

6.

Вычислить двойной интеграл ∫∫

(12x2 y2 +16x3 y3 ) dx dy

D

по области D : x =1; y = x2 ; y = −x.

Область интегрирования указать на рисунке.

7.

Найти производную от интеграла

d

x

2t +5

с переменным верхним пределом

∫

dt

t2 +1

dx 0

Вариант 2

1.

Вычислить интегралы

а) ∫

(8x3 −9x2 −69x +8)

dx

б) ∫

sin(2x)(2x2 +8x +5)dx

(x +1)2 (x −4)(x −3)

в) ∫

1+tg x

dx

г) ∫

x

dx

sin 2x

+ 4 x3

1

2.

Вычислить определенный интеграл

1

x

2

+1

dx

∫

(x3 +3x +1)2

0

3.

Найти несобственный интеграл или установить его

+∞

dx

⌠

.

расходимость:

2

⌡ x

+ x −2

2

4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 3 −

x

и

y = x2 −3.

6.

Вычислить двойной интеграл

∫∫ (9x2 y2 + 48x3 y3 ) dx dy

D

по области D : x =1; y = x; y = −x2.

Область интегрирования указать на рисунке.

7.

Найти производную от интеграла

d

x

с переменным верхним пределом

∫

2t −1

dt

dx

0 t2 +t3

а) ∫

(11x3 −22x2 −61x +32)

dx

б) ∫

1

dx

(x +1)(x +3)(x −4)(x −2)

3 +cos x

в) ∫

1

dx

г) ∫

(4x2

+ 4x + 2)

ln(x) dx

2x +1 + 3

2x +1

2. Вычислить определенный интеграл

1 4

arctg(x)

− x

dx

∫

1+ x2

0

3. Найти несобственный интеграл

или

установить его

+∞

расходимость:

⌠

x e−x+1dx .

⌡

0

Ox фигуры, ограниченной линиями: y = x2 ,

y = x .

6.

Вычислить двойной интеграл ∫∫ (

36x2 y2 −96x3 y3 ) dx dy

D

по области D : x =1; y = 3 x; y = −x3.

Область интегрирования указать на рисунке.

7.

Найти производную от интеграла

d

x

2sin t

с переменным верхним пределом

∫

dt

t2 +1

dx 0

10x2

−9x +17

)

б) ∫(2x2 + 2x +3)

а) ∫

(

2

dx

arctg(x) dx

(x −3)

(x + 2)

в) ∫

1

dx

г) ∫x 3 − x dx

(sin x +cos x)2

2

x3

2. Вычислить определенный интеграл

0∫

dx

x2 + 4

3. Найти несобственный интеграл или установить его

−∞

⌠

dx

расходимость:

.

3 (2x +1)2

⌡

−1

Oy фигуры, ограниченной линиями: y = x ,

y = 2 ,

x = 0.

6.

Вычислить двойной интеграл ∫∫

(18x2 y2 +32x3 y3 )

dx dy

D

по области D : x =1; y = x3; y = −3 x.

Область интегрирования указать на рисунке.

7.

Найти производную от интеграла

d

x

с переменным верхним пределом

∫sin (2t

−t2 )

dt

dx 0

Вариант 5

1.

Вычислить интегралы

а) ∫

(x2 + x +9)(5x +3)

dx

б) ∫

x +1

dx

(x2 +9)(x +3)(x −2)

3

3x +

1

в) ∫cos4 x dx

г) ∫ (4x2 −2x + 4)

(x +1) e2xdx

2.

Вычислить определенный интеграл

2π

x +cos x

dx

π∫

x2 + 2sin x

2

dx

⌠

.или установить его

3.

Найти несобственный интеграл

3

1− x

⌡

0

y =

1

x2

−3x + 2 , y = x −4.

2

d

x

(cost +sin2 t )

верхним пределом

∫

dt

dx 0

Вариант 6

1.

Вычислить интегралы

а) ∫

4

(x3 −3x2 +7x −3)

dx

б)

∫

x

dx

(x2 −4x +5)(x −1)(x

+3)

x +1

в) ∫

1

dx

г)

∫(

2x + 4)

arcsin(x) dx

3 −2sin x +cos x

π 4

2cos x +3sin x

dx

2.

Вычислить определенный интеграл ∫

(2sin x −3cos x)2

0

3.

Найти

несобственный

интеграл

или

установить

его

∞

x dx

расходимость: ∫

1,5

2

(x2 −3)

4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0, x = 2.

5.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями: y =

1

x

2

+ 2, 5x −8y +14 = 0

4

6.

Вычислить двойной интеграл∫∫ (18x2 y2 +32

x3 y3 ) dx

dy

D

по области D : x =1; y = −x2 ; y = 3 x

(x ≥ 0).

d

x

пределом

∫eSin t

dt

dx 0

Вариант 7

1.

Вычислить интегралы

а) ∫

5(x2 −18)

dx

б) ∫(3x +3) arccos(2x) dx

(x2 +9)(x −6)(x

+

6)

в) ∫

1

dx

г) ∫

x +1

dx

5

+ 4sin x

x

x −

2

2.

Вычислить определенный интеграл

1 2

8x −arctg(2x)

dx

∫

1+ 4x2

0

3.

Найти несобственный интеграл или установить его

∞

⌠ dx

.

расходимость:

⌡ x ln x

2

4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

5. x + 2 y −8 = 0, y =1, y = 3, x = 0.

6.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями:

y =

4

,

x = 3, x =12,

y = 0.

x

7.

Вычислить двойной интеграл

∫∫

(18x2 y2 +32x3 y3 )

dx dy

D

по области D : x =1;

y = x3; y = −

x.

Область интегрирования указать на рисунке.

8.

Найти производную от интеграла

d

x

с переменным верхним пределом

∫arctg(10t)

dt

dx 0

Вариант 8

1.

Вычислить интегралы

а) ∫

2x(x + 2)

dx

б) ∫(9x2 +7)ex+3 dx

(x2 + 4)(x −

2)

в) ∫

1

dx

г) ∫ 3

x +1

dx

sin3 x cos3 x

x −1

(x −1)3

2.

Вычислить определенный интеграл

4

1 (2 x) +1

dx

∫

( x + x)2

1

6.

Вычислить двойной интеграл ∫∫ (27x2 y2 + 48 x3 y3 )

dx dy

D

по области D : x =1; y = −x3; y =

x.

Область интегрирования указать на рисунке.

7.

Найти производную от интеграла

d

x

с переменным верхним пределом

∫arccos(3t +1)

dt

dx 0

Вариант 9

1.

Вычислить интегралы

а) ∫

(5x4 −9x3 −15x2 + 41x +90)

dx б) ∫

cos(ln(5x))dx

(x −3)2

(x +1)2 (x + 2)

в) ∫

1

dx

г) ∫

x

dx

x − 3

x2

tg8 x

2.

Вычислить определенный интеграл

1

x

dx

0∫

x4 +1

1

4.

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями:

x2 = 4y,

y =

8

.

x2 +4

5.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями:

xy = 4, x =1,

x = 4,

y = 0.

6.

Вычислить двойной интеграл

∫∫ (4xy +3

x2 y2 )

dx

dy

D

по области D : x =1;

y = x2 ; y = −

x.

Область интегрирования указать на рисунке.

7.

Найти производную от интеграла

d

x

3

tg t

+5

с переменным верхним пределом

∫

dt

sin2 t +1

dx 0