Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В. - Математический анализ Контрольные работы по математике. Часть 2

1.

Найти область определения функции

z =

1

y2 + 4 y − x2 + 4

2.

Найти

линии уровня

функции

z = x −(y +7)2 .

Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = ln(1− xy)5 в точке (0; 1)

4. Найти

величину

и

направление

градиента

функции

6.

Найти

условный

экстремум

функции z =

1

+

1

,

если

x

y

x + y = 5.

7.

Найти

наибольшее

и

наименьшее значение

функции

z = x2 −2 y2 + 4xy −6x −1

в

области

D,

где

x ≥ 0; y ≥ 0, x + y ≤ 3.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 20

1.

Найти область определения функции

z = − x + y + 2

2.

Найти линии уровня функции

z = x2 −5x +6 − y .

Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = sin

x + y

cos

x + y

π

в точке 0;

.

2

2

4

4.

Найти

величину

и

направление

градиента

функции

6.

Найти

экстремум функции z = x − y −4

при условии, что

2

x2 + y2 =1.

7.

Найти

наибольшее и

наименьшее

значение функции

z = x2 +3y2 + x −15y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = −1; y = 5; x + y = 7.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 21

1.

Найти область определения функции z = x2 − y2 .

2.

Найти линии уровня функции

z = x2 − y3 . Сделать чертеж.

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти первый и второй

дифференциалы функции

6. Найти условный экстремум функции

z = xy2 , если

x + 2 y = 4.

2x + 4 y ≤1, x ≥ 0, y ≥ 0.

8. Доказать

выпуклость

функции

f = 36xz −84xy −24 yz +3ex +5ey + 40x2 +58y2 +97z2

Вариант 22

1.

Найти область определения функции z =

1

.

x − y

2.

Найти линии уровня функции

z = x2 −

y

. Сделать чертеж.

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = ln(x −e3y ) в точке (2; 0)

4.

Найти величину и направление градиента функции

z = x2 y в

точке М(1;1).

5.

Найти

экстремумы

функции

z = 2xy −98y −98x +6x2 +6 y2 +5

6.

Найти

экстремум

функции

z = x − y

при условии,

что

x2 + y2 =1.

7.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значение

функции

z = 5x2 + y2 + 4 −3xy

в

области

D,

где

x ≥ −1; y ≥ −1, x + y ≤1.

8.

Доказать

выпуклость

функции

f = 30xz −112xy −8yz +3ez

+74x2 +65y2 + 25z2

Вариант 23

1.

Найти область определения функции z = x − y −2

2.

Найти

линии уровня

функции

z = x −arctan

y

.

Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый и

второй

дифференциалы

функции

x 2

+ y 2

z =

в точке (1; 1)

x

6.

Найти

условный экстремум функции

z = x + y , если

1

+

1

= 1 .

y2

x2

2

7.

Найти

наибольшее

и

наименьшее значения функции

z = x2 − xy + y2 −4x

в

замкнутой области,

ограниченной

прямыми x = 0, y = 0, 2x +3y −12 = 0 .

8.

Доказать

выпуклость

функции

1.

Найти область определения функции z =

1

− y2 + x2

2.

Найти линии уровня функции

z = cos x +

y

. Сделать чертеж.

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый и второй

дифференциалы функции

z =

cos

x

y

в точке (0; 1)

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее значения

функции

z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x =1, x = 2 ,

y = 2 ,

y = 3.

8.

Доказать

выпуклость

функции

f =18xy −14xz −24 yz + 4ex + 4ey +82x2 +17 y2 +58z2

Вариант 25

1.

Найти область определения функции z = tg y + tg x

2.

Найти линии

уровня функции z = cos x cos y +sin xsin

y

.

Сделать чертеж. Привести пример другой функции с такими

же линиями уровня. Чему равна производная функции в

точке в направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти первый и второй дифференциалы функции

z =

sin y

x

1

; 0

в точке

2

6.

Найти

условный

экстремум

функции z = xy2 , если

x + 2 y −1 = 0.

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значение функции

z = xy(4 − x − y) в области D: x ≤1;

y ≥ 0,

x + y ≤ 6.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 26

1.

Найти область определения функции z =

sin y

sin x

2.

Найти линии уровня функции

z = xcos y . Сделать чертеж.

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти первый и второй

дифференциалы функции

5.

Найти

условный

экстремум функции

z =

1

+

1

, если

x

y

x + y −4 = 0 .

6.

Найти экстремумы функции z = 20x −52 y + 2xy −5x2 −5y2 +1

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее значение

функции

z = x3 + y3 −3xy в области D: 0 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 2.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 27

1.

Найти область определения функции z =

25 − x2 − y2

2.

Найти

линии уровня

функции

z = x +arccos y .

Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый и

второй

дифференциалы

функции

z = ye−

(x + y) в точке (0; 0)

4.

Найти

производную

функции

z = log4 (x2 + y2 )

в точке

M(3;5) в направлении, перпендикулярном линии уровня,

проходящей через эту точку.

5.

Найти

экстремумы

функции

z = 2xy −32 y −32x +3x2 +3y2 + 2

6.

Найти

условный

экстремум

функции

z = x2 + y2 − xy + x + y −4 , если x + y +3 = 0.

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значение

функции

z = x2 + y2 − xy −4x в области D: 0 ≤ x; 0 ≤ y; 2x +3y −12 ≤ 0.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 28

1.

Найти область определения функции z = arcsin

x

+arcsin

y

4

5

2.

Найти линии уровня функции

z = xey + x . Сделать чертеж.

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = (1 + y)x в точке (3; 0)

4.

Найти производную функции z =(xyz2 )в точке M(1;3;−5) по

направлению

вектора

l = (cosα;cos β;cosγ ) ,

где

cosα = 0,5; cos β = 0,25; cosγ > 0.

5.

Найти экстремумы функции z = xy 1−

1

y2 −

1

x2

16

64

6.

Найти условный экстремум функции z =

xy , если x + y =1.

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значение

функции

z = x2 + 2xy − y2 + 4x в области D: x ≤ 0;

y ≤ 0, x + y + 2 ≥ 0.