Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В. - Математический анализ Контрольные работы по математике. Часть 2

Вариант 9

1.

Найти область определения функции z = tg x + x2 + y2

2.

Найти линии уровня функции

z = (x −1)2 −(y +1). Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти первый и второй дифференциалы функции z = sin xy

в точке (3; 0).

4.

Найти производную функции

z = arcsin

x2

в точке А(1;2) по

y

6.

Найти

условный

экстремум

функции

z =

4

+

1

, если

x

y

x + y =1.

7.

Найти

наибольшее и наименьшее значение

функции

z = ln(x2 + y2 ) в

области D,

заданной

неравенствами

x + 2 y ≤1; x ≥ 0; y ≥ 0.

8.

Доказать

выпуклость

функции

f = 90xy −24xz +54 yz + 4ey + 2ez

+ 29x2 +90 y2 +117z2

Вариант 10

1.

Найти область определения функции z = arccos

x

.

x + y

2.

Найти линии уровня функции

z =

x −1

− y . Сделать чертеж.

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = (1+ y)x , в точке (2; 0).

4.

Найти

величину

и

направление градиента

функции

6.

Найти

условный

экстремум функции

z =

x

+

y

, если

3

4

x2 + y2 =1.

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее значение

функции

z = x2 +3y2 + x −14 y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = −2; y = 5, x + y = 6.

8.

Доказать

выпуклость

функции

f = 4ez

−112xz −70 yz +3ex −40xy +89x2 +65y2 +74z2

Вариант 11

1

1.

Найти область определения функцииz =

y −log3 x

2.

Найти линии уровня функции z = x +

x

− y . Сделать чертеж.

8. Доказать

выпуклость

функции

Вариант 12

1.

Найти область определения функции z =

y −log3 x

2.

Найти

линии уровня

функции

z = ln x + 2ln y .

Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = 3x e5 − y в точке (1; 5).

4.

Найти производную функции z = x2 − xy −2 y2 в точке P(1;2)

в направлении, составляющем с осью Ox угол 60°.

5.

Найти

экстремумы

функции

z = −2xy −98y −98x −6x2 −6 y2 −5

6.

Найти

условный

экстремум

функции z = x + y , если

x2 + y2 =1.

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значение

функции

z = x2 +3y2 + x −16 y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = −2; y = 7; x + y =8.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 13

1.

Найти область определения функции

z = log2 x −log2 y.

2.

Найти

линии

уровня

функции

z =

x +

4 y .

Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый и

второй дифференциалы

функции

z = ln( y +ex )

в точке (0; 1).

4.

Найти производную функции z = (x2 + y)

ey

в точке М(2;0)

5.

Найти экстремумы функции z = xy 1−

1

y2 −

1

x2

25

25

6.

Найти

условный экстремум функции

z = x2 + y2 , если

x +

y

=1.

2

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значение функции

z = −2x2 − y2 − xy +3 в области D: x ≤1;

y ≥ 0;

y ≤ x.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 14

1.

Найти область определения функции z = 16 − x2 − y2

2.

Найти линии уровня функции

z = (x −2)2 +(y +6)2 . Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = y sin(1 − x) в точке (1; 5).

4.

Найти

величину

и

направление градиента

функции

z = x2 − y2 в точке М(5;3).

6.

Найти

условный

экстремум функции z =

1

+

1

, если

x

y

x + y −1 = 0 .

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее значение

функции

z = x2 +3y2 + x −18y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = −2;

y = 9, x + y =10.

8.

Доказать

выпуклость

функции

f = 42 yz −90xz −80 yx +5ex +50x2 +73y2 +130z2

Вариант 15

1.

Найти область определения функции z = y +

sin x

2.

Найти линии уровня функции

z = ex + y −1. Сделать чертеж.

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = y 2x + y в точке (1; 1).

4.

Найти производную функции z = xy2 z2

в точке М(3;2;1) по

→

направлению вектора MN , где N (5;4;2).

5.

Найти экстремумы функции z = x2 −2ln y −50ln x + y2

6.

Найти

условный

экстремум

функции

z =

x

+

y

, если

4

3

x2 + y2 =1.

7.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значение

функции

z = 2x4 + y4 − x2 −2 y2 в области D: x = ±

1− y2

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 16

1.

Найти область определения функции z = xy −1

2.

Найти линии уровня функции

z = x +cos(3y + 2). Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти первый и второй

дифференциалы функции

0;

π

z =1+sin xsin y в точке

3

точке М(2;1;1).

5.

Найти экстремумы функции z = 6xy −90 y −72x +6x2 +6 y2 +1

6.

Найти условный экстремум функции

z = 4 x 3

y , если

x + y −14 = 0.

7. . Найти наибольшее

и наименьшее

значение

функции

z = x2 +3y2 + x −11y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = −1; y =1, x + y = 3.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 17

1.

Найти область определения функции

z = yx

2.

Найти

линии уровня

функции

z = x2 + 2(y −3)2 .

Сделать

чертеж. Привести пример другой функции с такими же

линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти

первый

и

второй

дифференциалы

функции

z = ln( 2 x + e y ) в точке (2; 0)

4.

Найти

величину

и

направление

градиента

функции

5. Найти

экстремумы

функции

при x + y = 2 .

7.

Найти экстремум функции z = x2 +3y2 + x − y

в области D,

где x ≤1; y ≤1,

x + y ≥1.

8.

Доказать

выпуклость

функции

Вариант 18

1.

Найти область определения функции

z =

x2 − y2 −2x +1

2.

Найти линии уровня функции

z =

5x +1

. Сделать чертеж.

9 y

Привести пример другой функции с такими же линиями

уровня. Чему равна производная функции в точке в

направлении линии уровня в этой точке?

3.

Найти первый и второй

дифференциалы функции

6.

Найти

условный

экстремум функции z = x2 + y2 , если

x

+

y

=1.

4

3

7.

Найти

наибольшее и

наименьшее значение функции

z = x2 +3y2 + x −13y

в

треугольнике,

ограниченном

прямыми x = −1;

y = 3;

x + y = 5 .

8.

Доказать

выпуклость

функции