Матан5
.docМонотонность и непрерывность. Теорема об обратной функции.
Теорема: Если монотонно возр. функция на [a;b] имеет разрыв в точке x0, то f(x0-)f(x0)f(x0+)
(может быть только скачёк)
Следование: Если функция монотонно возрастает на отрезке и не пропускает промежуточных значений, то эта функция непрерывна.
Теорема: (об обратной функции) Если функция строго возрастает и непрерывна на отрезке, то у неё имеется обратная функция, которая тоже возрастает и непрерывна.
Если функция строго убывает и непрерывна на отрезке, то у неё имеется обратная функция, которая тоже убывает и непрерывна.
Непрерывность элементарных функций.
def 1 / Простейшими элементарными функциями называются: const, ex, lnx, x, sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx
def 2 / Элементарные функции называются все те функции, которые получаются из простейших при помощи конечного числа арифметических операций.
Теорема: Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке где она определена.
Определение производной. Её геометрический и физический смысл.
def / Рассмотрим предел отношения приращения функции и вызвавшему его приращения аргумента при условии, что x0. Если этот предел сущ., то он называется производной функции f в точке x.
limy/x=df(x)/dx=tg=f (x)
В механике производная – мгновенная скорость
S (t)=V(t) V (t)=a(t)
Дифференцируемые функции и их свойства.
def 1 / Функция f называется дифф-ой в точке x, если f=f(x+x0)-f(x)=Ax+o(x) при x0 можно представить в виде суммы двух слагаемых из которых 1ое – линейно относительно x, а 2ое явл. бесконечно малой более высокого порядка.
def 1 / Если функция дифф-ма, то главная часть её приращения (Аx) называется дифференциалом.
Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифф-ма в точке, необходимо и достаточно чтобы в этой точке сущ. конечная производная, при этом дифф-ал функции df(x)=f (x) x (т.е. A=f (x))
Теорема 2. Если f(x) дифф-ма в точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно.
Правила дифференцирования.
1) Пр. дииф-ия обратных функций:
y=g(x) – функция обратная к f – дифференцируема и f 0 ни в одной точке.
g (x)=1/f (g(x))
x=f(y) обратная- y=g(x)
Док-во: x=f(y)=f(g(x)) 1=f (g(x))g (x) g (x)=1/f (g(x))
2) Пр. дифф-ия функций заданных параметрическим способом.
Предположим, что x(t) и y(t) обе дифф-мы, x(t) имеет обратную.
x (t)0 t=t(x) – обратная y=y(t(x))
yx=y (t(x))t (x)=yttx=yt/xt
Теорема о среднем значении.
Лемма Ферма:
def / x0 называется точкой max f , если окрестность этой точки ( x0 ): xx0 f(x)f(x0)
xпроколотой окрестности x0 f(x)<f(x0), то x0 - строгий max.
Аналогично определяется точка min f и точка строгого min.
Лема Ферма: (необходимое усл. экстремума)
Если в точке extr f (x0), то эта производная = 0
Это усл. не является достаточным для наличия extr в точке.
Док-во: Пусть x0 – точка max f и пусть f (x0) сущ.
Для достаточно малых h f(x0+h)-f(x0)0
1) h<0 (f(x0+h)- f(x0))/h0 , h0 f (x0)0
2) h>0 (f(x0+h)- f(x0))/h0 , h0 f (x0)0
Общий вывод : f (x0)=0
Недостаточность : контр пример f(x)=x3
f (x)=3x2=0
x=0 (на графике видно, что это не extr)
Теорема 1. (Т. Ролля)
Пусть fC[a;b]D(a;b)
Если f(a)=f(b), то c(a;b): f (c)=0
Док-во: Т.к. функция непрерывна на отрезке, то по теореме Вейштрасса на этом отрезке она достигает своё наименьшее или наибольшее значение.
1) Предположим, что и max и min на двух концах, то f(x)=const f (x)=0
2) Или max, или min строго внутри (a;b)
Допустим max
Т.к. точка max внутри, то и f (x0) по усл., т.к. f дифф-ма внутри (a;b)
c(a;b): f (c)=0 по лемме Ферма.
Теорема 2. (Т. Лагранжа)
Пусть fC[a;b]D(a;b)
Тогда c(a;b): f (c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
f(b)-f(a)=(b-a)f (c) Приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой промежуточной точке отрезка.
Теорема 3. (Т. Коши)
Пусть f,gC[a;b]D(a;b), g (x)0 x(a;b)
Тогда c(a;b): f (c)/g (c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
Замечание: 1. Из Т. Ролля следует, что g(b)-g(a)0
2. Пусть g(x)=x f (c)=(f(b)-f(a))/(b-a) Теорема Лагранжа частный случай теоремы Коши.
Формула Тейлора.
Лемма 1.
Пусть f в точке a имеет производную до nого порядка включительно.
fDn(a)
Pn(x)=Ck(x-a)k , (k=0,…,n) :
Pn(a)=f(a)
Pn(a)=f (a)
…………..
Pn(n)(a)=f (n)(a)
Док-во:
Pn(a)=C0+0=f(a)
Pn(x)=1C1+2C2(x-a)+3C3(x-a)2+…+nCn(x-a)n-1
Pn(a)=C1=f (a)
Pn(x)=2!C2+2*3C3(x-a)+…+n(n-1)Cn(x-a)n-2
Pn(a)=2!C2=f (a)
n!Cn=f (n)(a)
Pn(x)=(f (k)(a)/k!)*(x-a)k , (k=0,…,n) – многочлен Тейлора.
o((x-a)n), xa – остаточный член в форме Пеана.
Rn(f,a;x)= (f (n+1)(c)/(n+1)!)*(x-a)n+1 – остаточный член в форме Лагранжа, где c между a и x
Правило Лопиталя-Бернулли.
Раскрытие неопределённости вида (0/0),(/)
Теорема 1. Пусть f,gD(a,a+), >0;
g (x)0 x(a,a+); f(a+)=0, g(a+)=0
Тогда (если limf (x)/g (x)=L , xa+) (обязательно limf(x)/g(x)=L , xa+)
Обратное не верно.
# Контр пример (f(x)=x2sin(1/x) g(x)=x (0,) )
lim(f(x)/g(x))=lim(xsin(1/x))=0, x0+
lim(f (x)/g (x))=lim(2xsinx-cos(1/x))=не сущ.
Для левого предела теорема аналогична.
Теорема верна, когда x
Формулируется точно так же когда неопределённость вида (/)