Матан2

Арефметические операции и предельный переход.

Лемма: x_na-(кон.пр.) тогда и только тогда, когда

x_n=a+_n, _n-б.м.

Док-во: 1) x_na  {x_n=a+_n, где _n=x_n-a}

x_na, >0 n₀:n>n₀ x_n-a<, т.е. n>n₀ _n<  {_n}-б.м.

2) Пусть _n-б.м.. Обозначим x_n=a+_n

_n-б.м.  n₀:n>n₀ _n<, т.е. n>n₀ x_n-a<  x_na

Теорема: Пусь limx_n=x, limy_n=y, при n

и x,y-конечные пределы

Тогда 1) x_n+y_n тоже имеет конечный предел

lim(x_n+y_n)=x+y, при n

2) x_ny_n тоже имеет конечный предел

lim(x_ny_n)=xy, при n

3) Предположим y0, тогда lim(x_n/y_n)=x/y

Док-во: 1) x_n=x+_n (по Лемме), y_n=y+_n, _n,_n-б.м.

X_n+y_n=(x+_n)+(y+_n)=(x+y)+(_n+_n),

где (x+y)=const, (_n+_n)=б.м. 

 по Лемме lim(x_n+y_n)=x+y, при n

2) x_ny_n=(x+_n)(y+_n)=xy+(x_n+y_n+_n_n),

где xy=const, (x_n+y_n+_n_n)=б.м. 

 lim(x_ny_n)=xy

3) x_n/y_n-x/y=(y(x+_n)-x(y+_n))/yy_n=(1/y)(1/y_n)(y_n-x_n),

где 1/y=const, y_n-отдел от нуля, 1/y_n-ограничена,

y_n-x_n=б.м. 

 x_n/y_n=x/y+б.м.  lim(x_n/y_n)=x/y

Теорема существования в теории

последовательности.

Теорема 1. (теорема Вейштрасса о пределе

монотонной последовательности)

Формулировка: Если последовательность

{X_n} и ограничена сверху, то у неё есть

конечный предел (limX_n=a, n).

При этом все члены x_na n.

Док-во: Согласно принципу точной верхней грани

a=sup{X_n} 1.n X_na

2. >0 (a-)-верхняя грань явл.  n₀:X_n0>a-

Докажем: a=limX_n при n

n>n₀ X_nX_n0>a- n>n₀()  a-<X_na 

a=limX_n при n

Теорема 2. (Теорема Кантора о вложенных отрезках.)

Пусть {[a_n,b_n]}-последовательность вложенных отрезков.

Будем называть влож., если n [a_n+1,b_n+1][a_n,b_n]

Последовательность называется стягивающейся,

если b_n-a_n0, при n

Формулировка: Всякая последовательность вложенных

стягивающихся интервалов имеет ед. общую точку

Док-во: a_na_n+1b_n+1b_n {a_n} {b_n} a_nb_nb₁

a_nb₁-ограничена сверху a=lima_n

b_na₁-ограничена снизу b=limb_n

Так как a_nb_n  ab a_nabb_n Отрезок ab лежит

в любом отрезке

Остаётся док-ть что это пересечение состоит из одной точки.

x[a_n,b_n] n

y[a_n,b_n] n

Т.к. они находятся в одном отрезке, то x-yb_n-a_n0 

x-y=0 значит x=y

Теорема 3. (Теорема Больуана-Вейерштрасса)

Из всякого бесконечного огран. множества можно выделить

последовательность имеющую конечный предел

Док-во: a,b – граници. E[a,b] I₀=[a,b]

Одна из половинок содержит бесконечное подмножество

множества E.

I₁-содержит бесконечное подмножество из E

(если они обе то мы берём левую)

I₂-содержит бесконечное подмножество E.

…………………..

{I_n} по теореме 2 пересечениеI_n(n от 1 до )={}-точка

x₁E

x₂EI₁ x₂x₁

x₃EI₂ x₃x₁,x₂

………………….

{x_n} x_nI_n-1  a_n-1x_nb_n-1 n. Т.к. a_n-1 и b_n-1

сходятся к точке , то x_n

Теорема 4. Кретерий сходимости Коши. Фундаментальные

последовательности.

def Последовательность {x_n} называется фундаментальной,

если выполнено условие >0 n₀=n₀(): m,n>n₀ 

x_m-x_n< ((x_m-x_n)0 при m,n)

Последовательность перестаёт колебаться.

Свойства: Лемма 1. Всякая фунд. посл. ограничена.

Док-во: Пусть =1 n:n,m>n  x_m-x_n<1

n>n x_n=(x_n-x_n+1)+x_n+1x_n-x_n+1+x_n+1<x_n+1+1=q

P=maxx_n,nn M=max{P,q}  x_n<M n.

То есть {x_n}-ограничена.

Лемма 2. Если фунд. последовательность содержит

сходящуюся подпоследовательность, то эта

последовательность и сама сходится.

Дано: {x_n}-фундаментальная {x_nk}-сходящаяся

Док-ть: 1. >0 n:m,n>nx_m-x_n</2

2. a=limX_nkдля того же  n:n_k>nx_nk-a</2

n₀=max{n,n} n>n₀

x_n-a<? n_k>n₀

x_n-a=(x_n-x_nk)+(x_nk-a)x_n-x_nk+x_nk-a/2+/2=

Теорема: Креторий сходимости Коши.

Для того чтобы числовая последовательность{x_n}R имела

конечный предел, необходимо и достаточно чтобы

эта последовательность была фундаментальной.

Док-во: 1. Необходимость фундаментальности.

Сход.фунд. a=limX_n при n

>0:n₀:n>n₀  x_n-a</2

m,n>n₀  x_m-x_n=(x_m-a)+(a-x_n)x_m-a+x_n-a/2+/2=

2. Фунд.сход.

1) Послед. фунд., а всякая фунд. посл. ограничена по Лемме 1.

2) По теореме 3 из нашей посл. можно выделить сходящуюся

подпоследовательность.

3) По Лемме 2 наша последовательность на самом деле сходится.

Некоторые дополнения.

X_n=(-1)^n-1 {x}={1;-1;1;-1;…}

X_2n=-1(счётные) limX_2n=-1, при n

X_2n+1=1(несчётные) limX_2n+1=1, при n

У этой последовательности разные пределы последовательности,

по этому у всей посл. предела нет.

def Самый большой частичный предел называется верхним

пределом

Аналогично определяется нижний предел, как самый

маленький из частичных.

Последовательность имеет конечный (настоящий) предел,

когда её нижний и верхний пределы совпадают.