Матан3

Число “e”. Натуральные логарифмы.

Лемма (Неравенство Бернулли).

(1+x)ⁿ1+nx x>-1, nN

Док-во: метод мат. индукции:

1. n=1 Л.ч.=1+x П.ч.=1+x  Л.ч.=П.ч.

2. Предположим, что nN

(1+x)ⁿ1+nx

Тогда (1+x)ⁿ⁺¹(1+nx)(1+x) т.к. 1+x>0

(1+x)ⁿ⁺¹1+(n+1)x+nx²1+(n+1)x

Теорема:  конечный предел последовательности

lim(1+1/n)ⁿ=e, при n

Док-во: x_n=(1+1/n)ⁿ  (монотонно возрастает)

Y_n=(1+1/n)ⁿ⁺¹  (монотонно убывает)

1) X_n - док-ть.

n X_n<X_n+1 или ((n+1)/n)ⁿ<?((n+2)/(n+1))ⁿ⁺¹

(n/(n+1))((n+1)/n)ⁿ⁺¹<?((n+2)/(n+1))ⁿ⁺¹

(n/(n+1))((n+1)²/n(n+2))ⁿ⁺¹<?1

((n+1)²/n(n+2))ⁿ⁺¹<?n/(n+1)(1+1/n(n+2))ⁿ⁺¹<?n/(n+1)

берём обратную величину : ((n²+2n)/(n²+2n+1))>?n(n+1)

неравенство Бернулли

(1-1/(n+1)²)ⁿ⁺¹>1+(n+1)(-1/(n+1)²)=1-1/(n+1)=n/(n+1), при X>-1

2) Y_n>Y_n+1 док-ся аналогично

e- e:=lim(1+1/n)ⁿ (1+1/n)<e<(1+1/n)ⁿ⁺¹

(1+1/n)ⁿ⁺¹=(1+1/n)ⁿ(1+1/n)e

(1+1/n)ⁿ⁺¹-(1+1/n)ⁿ=(1+1/n)ⁿ1/n<e/n

e=2,718281828459045…

(1+1/n)ⁿ<e<(1+1/n)ⁿ⁺¹

1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

Предел функции.

Два определения предела функции в точке:

1) b=lim₁f(x),xa  >0 =()>0 :

0<x-a<  f(x)-b< (КОШИ)

Это неравенство описывает окрестность с проколотым центром

2) b=lim₂f(x){X_n} X_na f(x_n)b

X_na (РЕЙНЕ)

Теорема: Определение предела по Коши и по Рейне эквивалентны

Предельный переход и арифметические операции.

Теорема: Пусть limf₁(x)=b₁,xa и limf₂(x)=b₂,xa

1) lim[f₁(x)+f₂(x)]=b₁+b₂,xa

2) lim[f₁(x)*f₂(x)]=b₁*b₂,xa

3) Пусть b₂0 limf₁(x)/f₂(x)=b₁/b₂

Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1. limf(x)=b,xa limg(x)=c,

Если b<c , то в некоторой проколотой окрестности точки a f(x)<g(x)

Проколотая т.е. >0 0<x-a<  f(x)<g(x)

Теорема 2. (Противоположная обратной)

Если в некоторой проколотой окрестности точки a выполняется

f(x)g(x) и пределы обеих функций существуют, то тогда будет

между пределами неравенство

Limf(x)limg(x), xa (док-ся от противного)

Теорема 3.

 f(x)g(x)h(x) Предположим, что в близи точки a и

 limf(x)=limh(x)=b, xa

Тогда limg(x)=b, xa (док-ся используя теорему о двустороннем

огран. последовательности и Т№1)

Два признака сущ. предела функции в точке.

Теорема 1. (Критерий КОШИ для функции)

Для того чтобы конечный limf(x),xa необходимо и достаточно,

чтобы эта функция удовлетворяла условию Коши.

lim(f(x)-f(x))=0, x,xa

1) Необходимость этого усл. док. так же, как теории последовательности.

2) Усл. Коши ? Сущ. предела

{X_n} : 1) x_na 2)x_na f(x_n)-f(x_m)0, m,n

 f(X_n)-сходится

Осталось док-ть, что limf(X_n), x все одинаковы

От противного : limf(x_n)=blimf(x_n)=b, n

x_na

x_na

{x₁,x₁,x₂,x₂,…,x_n,x_n,…}={X_n}

x_na

x_na f(X_n) не имеет предела

Пришли к противоречию

Теорема 2. (Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной функции)

Если функция f в левой полу окрестности возрастает и ограничена

сверху, то limf(x), xa- конечный предел.

Если f в правой полуокрестности точки a возрастает и ограничена снизу,

то limf(x), xa+ конечный предел.

Первый замечательный предел.

Теорема 1.  предел lim(sinx/x)=1, x0

Так как sinx/x чётная, то достаточно док-ть что lim(sinx/x)=1, x0+

S_OAB<S_{сектора}<S_OAC

(R²/2)sinx<(R²/2)x<(R²/2)tgx

sinx<x<tgx

1<x/sinx<1/cosx

cosx<sinx/x<1 0<1-cosx=2sin²(x/2)<2(x/2)²=x²/2, x0  x²/20

1 1 cosx1, x0+

По теореме о двух милиционерах

Sinx/x1  lim(sinx/x)=1, x0