33. Функциональный ряд и его сходимость. Признаки Даламбера и Коши для исследования сходимости функциональных рядов

- последовательность ф-ий, определенных на множестве,- функциональный ряд. Этот ряд сх-ся в точке, если сх-ся числовой ряд. Множество всех точек, в которых сходится функциональный ряд, называется областью сходимости этого функц. ряда. Функц. рядабс. схся в т., если числовой рядабсолютно сх-ся. Этот функц. ряд абсолютно сх-ся на мн-ве, если этот ряд абс. сходится в каждой точке мн-ваA. Функц. рядусловно сх-ся в точке, если числовой рядсх-ся условно.теор.:Пусть- функц. ряд и, тогда:1)Для всехx, для кот., ряд абс. сх-ся;2)Для всехx, для кот., ряд абс. расх-ся;3)Если, то необходимо дополнительное исслед-е.док-во:Применим признак Даламбера для произвольных числовых рядов:,1)ряд абс. сх-ся;2)ряд абс. расх-ся;3)необх. дополнит. исследование.теор.:Пусть- функц. ряд и, тогда:1)Для всехx, для кот., ряд абс. сх-ся;2)Для всехx, для кот., ряд абс. расх-ся;3)Если, то необходимо дополнительное исслед-е.док-во:применим признак Даламбера для произвольных числовых рядов:,1)ряд абс. сх-ся;2)ряд абс. расх-ся;3)необх. дополнит. исследование.

34. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Пусть - функциональный ряд и 1), 2)

сходится. Тогда равномерно сх-ся наD.теор.1:Пустьравномерно сх-ся наDи- сумма этого ряда. Если, то.теор.2:Пустьсх-ся в точке, причемиравномерно сх-ся на мн-веDк фнкции. Тогдаравномерно сх-ся наD, причем его суммаи, т.е..теор.3:Пустьравномерно сх-ся на [a,b]. Если, то сумма этого рядаи, т.е.

35. Степенной ряд. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

опр.:Функц. ряд вида, где, наз-ся степенным рядом. Здесь. Пусть

теор.:1)- степенной ряд абс. сходится;2)- степенной ряд расходится.док-во:,1)и ряд абс. сх-ся,2)и ряд расх-ся.опр.:,R– радиус ходимости степенного ряда. Интервал- интервал сх-ти степенного ряда.примечание:радис сходимости можно найти также и по формуле

36. Свойства степенных рядов. Единственность разложения функции в степенной ряд

теор.1:Степенной ряд равномерно сх-ся на , содержащемся внутри интервала сходимости.док-во:Пусть у степенного рядаинтервал сходимостии. Тогда существуеттакое, что.

Рассм. :абс. сх-ся наслед-но ряд абс. сх-ся при, т.к.сходитсяпо признаку Вейерштрасса степенной ряд равном. сходится наи на.теор.2:Если, то

непрерывна на .док-во:Пусть.. Ряд равномерно сх-ся на [a,b] и члены рядасумма ряда

.теор.3:Если, тои, причем у этого ряда тот же интервал сходимости.док-во:Рассмотрим степенной ряд- у него радиус сходимости

. Т.к., т.е. интервал сходимости рядатот же, что и у. Возьмем, на [a,b] рядсх-ся равномернодифференцируема на [a,b]и в точкеии. По индукции получаем, чтоитеор.4:Если,и, причем интервал сходимости этого ряда тот же, что и у.док-во:Нарядравномерно сходитсяи.у этого ряда интервал сходимости.теор.(единственность разложения в степенной ряд):Ф-я единственным образом раскладывается в степенной ряд.док-во:Пусть.,.и т.д..