1.Числовой ряд, его сходимость.

Определение: Формально записанная сумма бесконечного множества чисел (1) наз-ся числовым рядом. Если послед-ть его частичных сумм {S_n}: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂+..., S_n=a₁+...+a_n=... имеет конечный предел lim S_n=S, то говорят, что ряд (1) сходится и имеет сумму S (в этом случае запись (1) не просто формальная запись, а выражает число). Если lim S_n не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится (в этом случае (1) не выражает никакого числа, но если lim S_n=, то ряду (1)приписывают сумму бесконечности).

2.Теорема ( Критерий Коши сход-ти ряда). [ряд (1) сходится] (при достаточно больших номерах любой отрезок ряда делается сколь угодно малым по модулю).

3.Остаток ряда.

Определение: Ряд наз-сяk-ым остатком ряда. Если этот ряд сход-ся, то его сумму обозначают .

Т-ма о сход-ти остатка ряда: k-ый остаток ряда сход-ся или расход-ся одновременно с самим рядом. В случае сход-ти сумма S=S_k+r _k (k-ая частичная сумма плюс сумма k-го остатка ряда)

При достаточно больших номерах (>k) ряд и его k-ый остаток имеют одинаковые отрезки ряда, поэтому критерий Коши для них выполняется или не выполняется одновременно так, что сам ряд и его остаток

сход-ся или расход-ся одновременно. 4.Следствие о роли конечного числа членов ряда.

Отбрасывание, добавление или изменение конечного числа членов ряда не влияют на его сход-ть (влияют только на сумму в случае сход-ти)

5.Теорема (необходимые признаки сход-ти).

Если ряд (1) сходится, то:

1) n-ый член ряда стремится к нулю: lim a_n =0.

2)сумма k-ого остатка ряда, при к, стремится к нулю: lim r _k=0

Из теоремы следует, что если lim a_n0, то ряд расходится, но условие lim a_n=0 не гарантирует сход-ти ряда (это только необходимый признак, но не достаточный)

6. Линейные операции с рядами.

Определение: Суммой рядовa_n иb_n и произведением a_n на число  наз-ся ряды (a_n+b_n) и a_n.

Теорема о линейных операциях с рядами.

Если рядыa_n и b_n сходятся, то их линейная комбинация(a_n+b_n) cходится к линейной комбинации сумм данных рядов:

Признаки сходимости положительных рядов.

Если у ряда а₁+а₂+…+а_n+… (1) все члены а_n за исключением м.б. конеч. их числа имеют одинак. знак, то ряд наз-ся знакопостоянным : положительным - если а_n  0 и отриц-м – если а_n0. Т.к. отрицательный ряд можно получить из полож. умножением на –1, то достаточно рассмотреть положительные ряды.

Теорема о критерии сходимости положительного ряда.

Положительный ряд (1) сходится  посл-ть его частичных сумм ограничена.

7.Признак сравнения в форме нер-ва.

Если существует n₀, такое что для  n>n₀ выполняется неравенство a_nb_n, то из сходимости ряда b_n следует сходимость ряда a_n, а из расходимости ряда  a_n  расходимость ряда b_n.

8. Признак сравнения в пред форме.

Если сущ. lim (a_n/b_n)=k - конечный или бесконечный, то

1. при к=0; из сх-ти b_nсх-ть a_n

2. при к=+; из расх-ти b_nрасх-ть a_n

3. при 0<к<+; оба ряда сх-ся или расх. одновременно.

9. Признак Даламбера

Если сущ. lim (a_n+1)/a_n=D, то при D<1 ряд (1) сх-ся при D>1- расх-ся, причём lim a_n=+

10. Радикальный признак Коши.

Если  lim =c, то при с<1 ряд сх-ся, при c>1- расх-ся, причём lim a_n=+

11. Интегральный признак Коши.

Если члены ряда a_n являются значениями некот. неотрицательной убывающей ф-ии f(x), непрерывной на [1,+], a₁=f(1),a₂=f(2),…,a_n=f(n),…, то ряд сходится. Или расх. одновременно с несобственным интегралом (1 to +)f(x)dx.

Сумма a_n выражает площадь ступенчатой фигуры с беск. основанием [0, +], а (1 to +)f(x)dx – пл-дь криволинейной трапеции с бесконечным основанием [1, +] под графиком y=f(x). Обе эти площади конечны или бесконечны одновременно.

12. (1/n^ ) – наз-ся общим гармоническим рядом (Дирихле), сх-ся при >1 и расх. при 1.