
- •1. Двойной интеграл и его приложения
- •2. Сведение двойного интеграла к повторному
- •3. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщенным полярным координатам
- •4. Тройной интеграл и его приложения. Вычисление тройного интеграла
- •5. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим, сферическим и обобщенным сферическим координатам
- •6. Криволинейный интеграл первого рода и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов первого рода
- •7. Ориентация кривой
- •8. Криволинейный интегралы второго рода, их осн. Свойства. Вычисление криволинейных интегралов второго рода.
- •9. Формула Грина
- •10. Поверхностный интегралы первого рода и их осн. Свойства. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода.
- •11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
- •12. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
- •19. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия
- •20. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •21. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •22. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •23. Нормальные системы дифференциальных уравнений и их решение методом исключения неизвестных
- •24. Определение числового ряда и его сходимость. Необходимое условие сходимости числового ряда
- •25. Свойства сходящихся числовых рядов
- •26. Сходимость числовых рядов с неотрицательными членами
- •27. Признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •28. Признак Даламбера для числовых рядов с неотрицательными членами
- •33. Функциональный ряд и его сходимость. Признаки Даламбера и Коши для исследования сходимости функциональных рядов
- •34. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
- •35. Степенной ряд. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда
- •36. Свойства степенных рядов. Единственность разложения функции в степенной ряд
- •37. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- •42. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье
23. Нормальные системы дифференциальных уравнений и их решение методом исключения неизвестных
Система дифф. ур-ий вида
,
гдеx– независимая
переменная,
- неизвестные функции, наз-ся нормальной
системой дифф. ур-ий. решением этой
системы назыв. набор изnф-ий
,
при подстановке которых в каждое ур-е
системы получается тождество. Решение
задачи Коши для этой системы: нахождение
решений этой системы, удовл. заданным
начальным условиям
.
Каждую нормальную систему можно свести
к дифф. ур-ю с одной неизвестной ф-ей.
Это происходит путем исключения
неизвестных.
24. Определение числового ряда и его сходимость. Необходимое условие сходимости числового ряда
опр.:Бесконечная сумма,
где
наз-ся
числовым рядом.
n-ая
частичная сумма
получается
последовательность частичных суммSnряда. ЕслиSnсходится, то ряд сходится и его сумма
равна
.
Если жеSnрасходится, то ряд также расходится.теор.:Если ряд
сходится,
то
.следствие:Если
или
не сущ-ет, то
расходится.док-во:Пусть
сходится,
тогда
.
25. Свойства сходящихся числовых рядов
теор.:Пусть рядыи
сх-ся,
причем
и
,
тогда:1)
сх-ся и
;2)
сх-ся и
;3)
-n-ый остаток ряда
,
док-во:1)Рассм.
.
;2)Рассм.
.
;3)
.
26. Сходимость числовых рядов с неотрицательными членами
,
где
-
числовой ряд с неотрицат. членами.
посл-ть
частичных сумм
- неубывающая посл-ть, отсюда
сходится тогда и только тогда, когда
ограничена сверху
вернатеорема:Ряд с неотрицат. членами
сх-ся тогда и только тогда, когда
ограничена сверху.
27. Признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами.
теор.:Пустьи
-
числовые ряды с неотрицат. членами,
,
тогда:1)Если
сх-ся,
тогда
тоже сходится;2)Если
расходится, то
тоже расх-ся.следствие:Если
,
то ряды сх-ся или расх-ся одновременно.док-во:
если
,
если
сх-ся,
то
ограничена
сверху
ограничена
сверху
сх-ся.
Если же
расходится, то
неограничена сверху
неогран. сверху
расх-ся.
,
т.е.
для
,
т.е.
.
Из теоремы следует, что ряды сходятся
или расходятся одновременно.
28. Признак Даламбера для числовых рядов с неотрицательными членами
теор.:- числовой ряд с положит. членами и
.
Тогда:1)q<1 – ряд
сх-ся;2)q>1 – ряд
сх-ся;3)q=0 – требуется
дополнит. исследование.док-во:1)q<1. Возьмем
,
тогда
,
т.е.
и
т.д. Получаем, что
.
Рассм. ряд
- сх-ся, отсюда по признаку сравнения
сх-ся;2)q>1. Возьмем
,
тогда
,
т.е.
и
т.д. Получаем, что
.
расх-ся.3)q=1. Рассм.
ряд
- он сх-ся.
.
Рассм.
- расходится,
нужно
дополнительное исследование.
29. Радикальный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членами
теор.:-
числовой ряд с неотриц. членами и
.
Тогда:1)q<1 – ряд
сх-ся;2)q>1 – ряд
сх-ся;3)q=0 – требуется
дополнит. исследование.док-во:1)q<1. Возьмем
,
тогда
.
Рассм.
-
сх-ся, т.к.
по
признаку сравнения
сх-ся;2)q<1. Возьмем
,
тогда
расх-ся;3)q=1. Рассм.
ряд
- он сх-ся.
.
Рассм.
- расходится,
нужно
дополнительное исследование.
30. Интегральный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членам
теор.:-
числовой ряд с неотриц. членами,
- невозрастающая ф-я.
.
Тогда
сх-ся
или расх-ся одновременно с
док-во:Возьмем
и
рассмотрим [k,k+1].
.
Проинтегрируем это неравенство по [k,k+1]:
,
т.е.
;
.
Если
сх-ся, то
.
Рассм.
.
,
где
- неубывающая ф-я, огран. сверху числомS
- конечный. Пусть
расх-ся, тогда
расх-ся. Пусть
сх-ся иn=I
и
.
- неубывающая последовательность,
ограниченная сверху
- конечный, и, значит, ряд сх-ся.
.
Пусть
расх-ся
ряд
расх-ся.
31. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
опр.:Ряд вида,
где
,
наз-ся знакочередующимся.
теор.:Пусть
- знакочередующийся ряд. Если 1)
,
2)
,
то этот ряд сходится.док-во:
;
;
,
но
,
т.е.
- невозрастающая посл-ть.
,
т.е.
еще и ограничена снизу. Следовательно
.
,
т.е.
-
неубывающая посл-ть.
ограничена сверху, следовательно
.
- перейдем к пределу при
,
получим, что
и
если
взять
,
то
,
т.е. ряд сходится.
32. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов
опр.:Рядабсолютно сходится, если сходится ряд
.опр.:Если ряд
сх-ся, но не абсолютно, то он сходится
условно.теор.(признак Даламбера для
произв. рядов):
- произв. числовой ряд. Пусть
,
тогда если:1)q<1, то
ряд абс. сх-ся,2)q>1,
то ряд абс. расх-ся,3)q=1,
то нужно доп. исслед-е.док-во:1)q<1
по пр. Даламбера для рядов с неотрицат.
членами
сх-ся, следовательно
абсол. сх-ся;2)q>1.
Рассм.
расх-ся.теор.(радикальный признак
Коши для рядов с произвольными членами):
- ряд с произв. членами. Пусть
,
тогда если:1)q<1, то
ряд абс. сх-ся,2)q>1,
то ряд абс. расх-ся,3)q=1,
то нужно доп. исслед-е.док-во:1)q<1. по признаку
Коши для рядов с неотрицат. членами
сх-ся, следовательно
абсол. сх-ся;2)q>1.
Рассм.
расх-ся.теор.:Если ряд абсолютно
сх-ся, то он сходится.