19. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия

опр.:Дифф. ур-е порядкаnимеет видлибо.опр.:Задача Коши для ур-я- это задача нахождения частного решения этого ур-я, удовлетворяющего начальным условиям:опр.:Общим решением дифф. ур-яилиназывается ф-ятакая, что 1) при любых допустимых значениях параметровона явл. решением дифф. ур-я, 2) для любой задачи Коши с начальными условиями найдутся постоянные, определяемые из системы ур-ий:.

Уравнение Ф(x,y,)=0,неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифф. ур-яn-го порядка.теорема о сущ-ии и единственности решения задачи Коши:Пусть у дифф. ур-яф-яfи ее частные производныенепрерывны в области, тогда для каждой точкинайдется интервал, на котором сущ-ет и единственно решение этого дифф. ур-я, удовл. начальным условиям:

20. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

1)Ур-я вида, где, где- параметры.2)Ур-я вида, т.е. ур-я, не содержащие ф-ииyи ее производных. Тогдаи получаем ур-е, чей порядок наkединиц меньше. Если- общее решение этого ур-я, то- общее решение исходного ур-я.3)Ур-я вида, т.е. ур-я, не содержащие в явном виде переменнуюx. Подстановкойполучаеми т.д. Подставляем это в ур-е. Получаем новое ур-е, порядок которого на единицу меньше.4)Ур-е видаТогда, т.е. порядок ур-я уменьшается на единицу.

21. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

. Общее решение этого ур-я имеет вид, где- частное решение этого ур-я, а- общее решение линейного однородного дифф. ур-я. Еслиy₁,…,y_n– частные решения этого ур-я, причем эти решения линейно независимы, т.е., хотя бы в одной точке, то общее решение этого ур-я имеет вид, где- произвольные константы.

22. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Это ур-я вида , где- константы. Если- частное решение этого ур-я,- общее решение линейного однородного ур-я, то общее решение этого ур-я имеет вид.1) Решение линейных однородных ур-ий с пост. коэфф-тами.(1). Заменяемнаполучаем уравнение (алгебраическое)- характеристическое ур-е. Находим его корни: каждому действительному корню λ кратностисоотв-етлинейно независимых решений ур-я(1):. Каждой паре комплексно сопряженных корнейкратностиsсоотв-ет 2sлинейно независимых решений ур-я(1):Если характеристическое ур-е имеетkдейств. корнейкратностисоответственно иmпар комплексных корней,…,

кратностисоответственно, то общее решение ур-я имеет вид

, где- многочлен степени,- многочлены степенис произвольными коэфф-тами.2) Линейные неоднородные ур-я с пост. коэфф-тами. (2) со спец. правой частью: а); б)

. Нахождение частного решенияур-я(2): а) Если λ не явл. корнем характеристического ур-я, тоищем методом неопред. коэфф-тов в виде, где- неопр. коэфф-ты. Если же λ явл. корнем кратностиrхарактеристического ур-я, то; б) Еслине явл. корнем характеристического ур-я, тометодом неопред. коэфф-тов в виде, где,- неопр. коэфф-ты,. Если жеявл. корнем кратностиrхарактеристического ур-я, то