5. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим, сферическим и обобщенным сферическим координатам

Перейдем к новым координатам (u,v,w). Связь между старыми и новымиx=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w). Если отображениеG* наG, задаваемое этими формулами, явл. взаимно однозначным непрерывно дифференцируемым отображением с якобианомвG*, то

Переход к цилиндрическим координатам:

где G* - запись областиGв цилиндрических координатах.

Переход к сферическим координатам:

Связь декартвоых и сферических корд-т:

где G* - запись обл.Gв сфер. корд.Переход к обобщенным сферическим:

6. Криволинейный интеграл первого рода и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Пусть L– непрерывная кривая на плоскости. Ф-я. РазделимLна более мелкие части – кривыеL₁,…,L_n, , не имеющие общих внутренних точек. На каждой дугеL_kвыберем произвольную точкуи составим интегральную сумму, где- длинаL_k. Пусть. Если сущ-ет, не зависщий от способа деленияLна более мелкие части и от выбора точекP_kв них, то он называется криволинейным интегралом первого рода от ф-ииfпо кривойLи обозначаетсяСвойства:1)Значение интеграла не зависит от того, в каком направлении проходят кривуюL(т.е. не зависит от ориентации кривойL)2)3)

4)Если, гдеи- непрерывные кривые, не имеющие общих внутренних точек, тотеор.:Если ф-яfнепрерывнана кривойL, тосущ-ет.Приложения:1)- длина кривойL;2)Если- плотность кривой, то ее масса;3)Статические моменты инерции отн. осей Ox иOy:,, координаты центра тяжести:x_c=S_y/m,y_c=S_x/m;4)Моменты инерции отн. осей Ox иOyи начала корд-т:,

Вычисление:1)Lзадана параметрически, тогда;

2)Lзадана ур-ем, тогда;

3)Lзадана в полярных координатах, тогда

Аналогично определяется криволинейный инт-л первого рода в случае пространственной кривой L. Обозначается. ЕслиLзадана параметрически, то

7. Ориентация кривой

КриваяL, на ней задана ориентация, если указаны начало и конец этой кривой. У кривой может быть две ориентации:либо- противоположная ориентация.

Ориентацию кривой можно задать также непрерывным полем единичных векторов - (L,) либо (L, -) – противоположная ориентация.

8. Криволинейный интегралы второго рода, их осн. Свойства. Вычисление криволинейных интегралов второго рода.

- область в трехмерном пространстве. ВGзадано векторное поле, если в каждой точкеGзадан вектор, что эквивалентно тому, что вGзаданы функцииP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z), задающие коорд-ты вектора в точке (x,y,z)G. Т.о.. Пусть в областизадано векторное полеи ориентирована криваяL, ориентация которая задана неперывным полем единичных касательных векторов. Криволинейный интеграл 2-го рода -.Свойства:1. Интеграл зависит от ориентации кривой2.

3. 4. ЕслиL=L₁UL₂, гдеL₁L₂не имеют общих внутренних точек и их ориентации согласованы, то

Физический смысл:Если- сила, то- работа силыFвдоль кривойL.Вычисление:ПустьLимеет параметризациюx=x(t),y=y(t),z=z(t);t, согласованную с ориентациейL, т.е.,, тогда