30.Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть . Выберем номеров строк и номеров столбцов .

Определение 5. Минором порядка матрицы называется определитель матрицы порядка , образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Обозначение:

Примеры: , ,

Определени 6. Если – квадратная порядка , то каждому минору порядка можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка , элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов . Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к .

Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на

Если .

Пример:

Теорема 1(о разложении определителя).

Если и , то равен сумме произведений элементов любой строки матрицы на их алгебраические дополнения, т.е. .

Доказательство: Пусть

. Тогда, выбрав –ую строку, определитель можно представить как сумму:

, где i-я строка

Покажем, что . Переставляя раз столбцы и раз строки, получим :

Лемма 1:

Доказательство: .

Рассмотрим . Очевидно, что так что число инверсий в и одно и тоже и значит (что и требовалось доказать).

Вернемся к доказательству теоремы:

(что и требовалось доказать).

Следствие (разложение по чужой строке).

Сумма произведений всех элементов какой–нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство: Пусть . Рассмотрим матрицу , получающуюся из заменой –ой строки на –ю, оставляя –ю прежней . Напишем разложение по –ой строке: т.к. алгебраические дополнения к элементам –ой строки у матрицы и совпадают (что и требовалось доказать).

Пример:

1. =

Следующая теорема обобщает теорему 1.

Теорема 2 (теорема Лапласа).

Пусть матрице порядка произвольно выбраны строк, . Тогда сумма произведений всех миноров –го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна . Т.е. если – выбранные строки, то (1),

где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов , .

Формула (1) называется формулой разложения определителя по –й строке .

Доказательство: см. Ильин, Поздяк стр. 27.

Примеры:

1)

2)

3) Определитель Вандермонда.

Вычитая первый столбец из всех остальных, получаем:

4°. Определитель суммы и произведения матриц.

Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает:

Теорема 1: Если , то равен сумме определителей матриц порядка , каждая из которой получается следующим образом: часть строк (столбцов) берутся совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы , а остальные – совпадающие с соответствующими строками (столбцами) матрицы B.

Иллюстрация .

Теорема 2: Если , то .

Доказательство: Рассмотрим матрицу порядка : , где – нулевая квадратная матрица порядка ,

Из примера 1 пункта 3 имеем, что .

Преобразуем теперь матрицу . строку умножим на , – на –ую – на и сложим с первой строкой. Тогда первая строка имеет вид: . Аналогично к –ой строке прибавим , умноженную на – на –ую на .

Имеем: . Т.о., первые строк принимают вид:

При таких преобразованиях определитель не меняется

где . Но Т.о. доказано, что

det .

Следствие 1: Если

Следствие 2: Из