
- •§10. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме.
- •1. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования.
- •2. Выделение подпространства, в котором преобразование имеет только одно собственное значение.
- •2. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением.
2. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением.
В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.
В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.
Чтобы
выбрать базис, в котором матрица
преобразования имеет наиболее простой
вид, мы будем тянуть цепочки собственных
и присоединенных векторов, выбрав
некоторый базис в подпространстве
и последовательно применяя к векторам
этого базиса преобразование
.
Определение
4. Векторы
из пространства
называются относительно линейно
независимыми над пространством
,
если их линейная комбинация, отличная
от нуля, не принадлежит
.
Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из Vn относительно линейно зависимы над любым подпространством.
Определение 5. Базисом пространства Vn относительно подпространства L называется такая система е1,…,ек линейно независимых векторов из Vn, которая после пополнения каким-нибудь базисом из L образует базис во всем пространстве.
Такой базис легко построить. Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в L, дополнить его до базиса во всём пространстве и затем отбросить векторы исходного базиса из L. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.
Всякую систему относительно линейно независимых векторов над L можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства L. Получится некоторая система векторов из Vn , которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве Vn , а затем отбросить базис подпространства L.
Итак,
пусть преобразование
в пространствеV
имеет только одно собственное значение.
Не ограничивая общности, можно
предположить, что оно равно нулю.
Рассмотрим снова цепочку (5) подпространств, полученных в п.1:
0N0(1)
…
N0(p)
= N0(p+1)
=…,
где
подпространство N0(k)
есть ядро преобразования
k.
Так как преобразование
в пространствеV
не имеет отличных то нуля собственных
значений, то, очевидно, N(p)
совпадает при этом со всем пространством
V.
Выберем в максимальном из этих подпространств N0(p) базис относительно содержащегося в нем подпространства N0(p-1). Пусть векторы этого базиса будут
e1,…,eq.
Очевидно, что это будут
присоединенные векторы (р-1)-го порядка.
Мы уже видели (см. упражнение на стр.211),
что
N0(p)
N0(p-1).
Поэтому векторы
Аe1,…,Аeq
лежат в N0(p-1).
Покажем, что эти векторы линейно
независимы вN0(p-1)относительно лежащего в нем подпространстваN0(p-2).Действительно,
пусть не все
i= 0 и
1Ае1+…+
q
Аеq= А(
1е1+…+
q
еq)
N0(p-2).
Тогда вектор х =
1е1+…+
q
еq
N0(p-2),
а это противоречит предположению, что
векторыe1,…,eqлинейно независимы надN0(p-1).
Дополним векторы Ае1,…, Аеqдо базиса вN0(p-1)относительноN0(p-2). Мы получим тогдаq+sвекторов Ае1,…, Аеq,f1,…,fs,
которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка р-2.
Снова применим к этим векторам преобразование А и полученную систему векторов из N0(p-2)дополним, как и выше, до базиса вN0(p-2)относительно
N0(p-3).
Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства N0(p)и выберем базис в этом пространстве, состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов.
Расположим полученные векторы в следующую таблицу
e1 … eq
е1…
еqf1…fs
2
е1…
2еq
f1…
fs
(12)
…………………………………………..
…………………………………………..
р-1
е1…
р-1
еq
р-2f1…
р-2fs…h1…hr
Векторы нижней строчки образуют базис в подпространстве N0(1). Векторы двух нижних строчек образуют базис вN0(2), так как это есть базисN0(2)относительноN0(1)в соединении с базисомN0(1). Векторы трех нижних строчек образуют базис вN0(3)и т.д. Наконец, все векторы таблицы образуют базис вN0(p), т.е. во всем пространствеV.
Покажем, что в этом базисе матрица
преобразования
имеет
жорданову нормальную форму. Действительно,
рассмотрим произвольный столбец таблицы
(12), например, для определенности первый.
Обозначим для удобства
р-1е1через
1,
р-2е2– через
2и т.д. и рассмотрим действие преобразования
на каждый из этих векторов. Так как
1– собственный вектор, отвечающий
нулевому собственному значению, то А
1= 0.
Дальше, по определению,
2
=
р-2е1
=
р-1е1
=
1
и аналогично
3
=
2,
……………
р
=
р-1.
Таким
образом, преобразование
переводит векторы первого столбца снова
в себя, т.е. подпространствоL,
натянутое на эти векторы, инвариантно
относительно
.
Матрица преобразования А в подпространствеLв базисе
1,…,
римеет вид
(13)
Матрица
(13) есть жорданова клетка, отвечающая
собственному значению
=0.
ОбозначаетсяJp(0).
Аналогичное инвариантное подпространство
отвечает каждому из столбцов таблицы
(12), и размерность каждого такого
подпространства равна числу векторов
в соответствующем столбце. Так как
матрица преобразования А в базисе,
состоящем из векторов какого-либо
столбца таблицы (12), имеет вид (13), то
матрица преобразования во всем
пространствеVв базисе,
состоящем из всех векторов таблицы
(12), состоит из жордановых клеток, число
которых равно числу столбцов в этой
таблице, а размер каждой клетки равен
числу векторов соответствующего столбца.
Если
вместо преобразования
рассмотреть преобразование
+
1Е,
то, так как матрица преобразования
1
диагональна, мы получим тот же результат
для преобразования пространстваV,
имеющего только одно собственное
значение, равное произвольному числу
1.
Соответствующие жордановы клетки
матрицы преобразования
+
1Е
будут иметь вид:
Jp(1)=
.
(14)
Вспоминая теперь, что для произвольного
преобразования
мы можем разложить пространствоVв сумму инвариантных подпространств,
в каждом из которых преобразование А
имеет только одно собственное значение
(см. формулу (11)), мы получаем отсюда
полное доказательство теоремы.
Теорема.Пусть задано произвольное линейное
преобразование А в комплексном
пространствеnизмерений.
Предположим, что у А имеетсяk(kn)
линейно независимых собственных векторов
e1,f1,…,h1,
соответствующих
собственным значениям
1,
2,…,
к.
Тогда существует базис, состоящий изkгрупп векторов *):
e1,…ер;f1,…,fq; h1,…hs, (1)
В котором преобразование А имеет следующий вид:
Ае1=1е1,
Ае2= е1+
1е2,…,
Аер= ер-1+
1ер;
Аf1=2f1,
Аf2= f1+
2f2,…,
Аfq= fq-1+
2fq;
…………………………………………………. (2)
Аh1=kh1,
Аh2=h1+
kh2,…,
Аhs=hs-1+
khs.
4o. Примеры. Найти жорданову форму матрицы и матрицу перехода к жордановому базису для преобразования, заданного в исходном базисе матрицей
а) А=
.
Характеристический
многочлен |A-E|
= 0
(1-
)4=0
=1
– собственное значение. |A-1E|х
= 0
~
единственный
собственный вектор (1;0;0;0)Т:N1(1)
(1;0;0;0)Т .
(A-E)2==
.
(A-E)2x=0
dim N1(2)=2.
(A-E)3==
~(0;0;0;1)
dim N1(3)=1.
(A-E)4=0
dim N1(4)=4.
e1= (0;0;0;1)T; (A-E)e1= (4;3;2;0)T;
(A-E)2e1= (12;4;0;0)T;
(A-E)3e1= (8;0;0;0)T.
=
, |
|
= 64.
-1=
.
A’=-1A
=
.
б)
А=.
|A-E|
=
=
= [(
-2)
+1]2= = (
2-2
+1)2=(
-1)4.
(А-Е) =
~
~
2
собственных вектора,dimN1(1)=2.
(А-Е)2==
~ ~(0;0;1;1).dimN1(2)=3.
(А-Е)3==
dimN1(3)=4.
е1=(0;0;0;1)Т.
(А-Е)е1=(-3;4;-1;1)ТN1(2).
(А-Е)2е1=(-2;2;0;0)ТN1(1)-собственный
вектор.
Другой собственный вектор: (0;-1;-1;1).
.|
|
=
=8-6+2=4.
-1=
.
A’=-1A
=
=
==
=
=.
1В самом деле, если-
собственное значение преобразования
,
т.е.
,
то
,
т.е.
-
собственный вектор
,
отвечающий собственному значению
.