2. Выделение подпространства, в котором преобразование имеет только одно собственное значение.

Пусть - некоторое собственное значение преобразования . В этом пункте мы покажем, что пространство можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование имеет лишь одно собственное значение , а во втором у преобразования уже нет собственного значения .

Не ограничивая общности, можно считать, что .

Действительно, пусть . Рассмотрим преобразование. Оно уже имеет собственное значение, равное нулю¹. Очевидно, что инвариантные подпространства преобразований исовпадают.

Итак, впредь мы будем считать, что преобразование имеет собственное значение . Рассмотрим введенное в п. 1 инвариантное подпространство, состоящее из всех собственных и присоединенных векторов преобразования, отвечающих собственному значению. Как мы помним, оно является ядром преобразования, т.е. состоит их всех векторов, для которых.

В качестве второго слагаемого прямой суммы мы возьмем подпространство - образ пространствапри том же преобразовании.

Легко видеть, что также инвариантно относительно преобразования. Действительно, если, т.е., то, т.е.также принадлежит.

Теорема 1. Пространство можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространстви. При этом подпространствосостоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению, а в подпространствепреобразованиеобратимо (т.е.не является собственным значением преобразованияв подпространстве).

Доказательство. Для доказательства первого утверждения нам достаточно показать, что пересечение подпространств иравно нулю. Допустим противное, т.е. пусть существует такой вектортакой, чтои. Так как, то

.

(6)

Далее, так как , то

.

(7)

Но из (6) и (7) следует, что существует такой вектор , для которогои в то же время. Это значит, чтоесть присоединенный вектор преобразованияс собственным значением, не принадлежащий подпространству, что невозможно, так каксостоит из всех таких векторов.

Таким образом, мы доказали, что пересечение иравно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна(это ядро и образ преобразования), то отсюда следует, что пространствораскладывается в прямую сумму этих подпространств:

.

(8)

Докажем теперь второе утверждение теоремы, т.е. что в подпространстве преобразованиене имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было так, то всуществовал бы вектортакой, что. Но это равенство означает, что, т.е. является общим вектороми, а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль. ■

Теперь мы можем освободиться от предположения, что выделенное подпространство отвечает нулевому собственному значению, и считать установленным следующий факт.

Если - некоторое собственное значение преобразования, то пространствоможно разложить в прямую сумму инвариантных подпространстви, в первом из которых преобразованиеимеет только собственное значение, а во втором все собственные значенияотличны от.

Применяя полученный результат к преобразованию в пространствеи к некоторому собственному значениюэтого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования, мы получим доказательство следующей теоремы:

Теорема 2. Пусть преобразование пространстваимеетразличных собственных значений. Тогдаможно разложить в прямую суммуинвариантных подпространств:

.

(9)

Каждое из подпространств состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению.

Другими словами, для каждого существует такое число, что для всехвыполнено.

У нас осталась еще одна, впрочем, не менее важна задача – выбрать в каждом подпространстве базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Это будет сделано в следующем пункте.