Тензоры_евкл_простр.doc

§18. Тензоры в евклидовом пространстве.

1º. Фундаментальный метрический тензор.

Определение 1. Сопоставим каждому базису матрицу Грама , где , этого базиса. Определяемый этим тензор типа называется фундаменталный метрическим тензором пространтсва.

Д.З. Доказать, что - тензор типа .

В примере, рассмотренном в 1º параграфа 16 было показано. Что компоненты матрицы определяют тензор типа с компонентами .

Д.З. Доказать ещё раз.

Определение 2. Тензор с компонентами , называется контравариантным метрическим тензором. В силу симметричности имеем, что также симметричен.

2º. Поднятие и опускание индексов.

При опускании индекса тензору типа сопоставляется тензор типа , получаемый свёртыванием данного тензора с ковариантным метрическим тензором по тому индексу, который мы хотим опустить.

Например, .

При поднятии индекса данный тензор сворачивается с контрвариантным метрическим тензором по тому индексу, который следует поднять. Результатом будет тензор типа .

Например, .

3º. Евклидовы тензоры.

При изучении евклидова пространства можно ограничиться лишь рассмотрением ортонормированных базисов. Тогда матрицы перехода в этом случае являются ортогональными, т.е. удовлетворяют соотношению , т.е. если , , то . Поэтому закон преобразования компонент тензора записывают в виде . Здесь используется знак , так как нарушено правило тензорного суммирования: всегда верхние индексы, слева - верхний индекс, справа – нижний. Это означает, что последнее равенство не является инвариантным: оно справедливо лишь в ортонормированных базисах.

Так как в ортонормированном базисе , то в ортонормированном базисе совпадают компоненты тензоров, отличающихся друг от друга на поднятие или опускание индекса, действительно, . Отметим, что при этом важно в каком порядке рассматриваются индексы.

Из сказанного следует, что ограничиваясь лишь ортонормированным базисом, мы можем отождествить все тензоры, получаемые один из другого поднятием или опусканием индекса. Множество таких эквивалентных тензоров называют евклидовым тензором.

Евклидовый тензор определяется валентностью , и все индексы мнимые: .

Величины, сохраняющиеся при переходе от одного ортонормированного базиса к другому, мы ранее называли ортогональными инвариантами. Таким образом, ортогональные инварианты - это евклидовы тензоры валентности .

Евклидовы тензоры можно свертывать, альтернировать и симметрировать на любой паре индексов.

Важный пример евклидова тензора - дискриминантный тензор, определяемый для некоторого ортонормированного базиса равенством: .

При переходе к другому базису имеем:

, т.е. показали, что компоненты дискриминантного тензора одинаковы во всех ортонормированных базисах одной ориентации с исходными и отличаются знаком в базисах противоположной ориентации.

Для неортонормированных базисов евклидовы тензоры доопределяются.

4. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора.

Рассмотрим контавариантный вектор типа с компонентами . С помощью его можно преобразовать в ковариантный тензор с компонентами : .

При этом . Зачастую величины и называют контравариантными и ковариантными компонентами одного и того же вектора . Они получаются как разложение по базису и взаимному с ним базису . Действительно:

Умножим на .