§10. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме.

1. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования.

Пусть - некоторое собственное значение преобразования_{. Мы уже имели раньше такое определение.}

_{Определение 1. Вектор называется собственным вектором преобразования , отвечающим собственному значению , если}

, т.е. .

(1)

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном . Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства.

Мы обозначим его . Легко видеть, чтоинвариантно относительно преобразования(проверьте!).

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования, отвечающих собственному значению, к которым добавлен еще нулевой вектор.

_{Определение 2. Вектор называется присоединенным вектором первого порядка преобразования , отвечающим собственному значению , если вектор является собственным вектором преобразования .}

_Пусть - собственное значение преобразования. Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов, для которых выполнено условие

,

(2)

_{т.е. ядро преобразования} . Обозначим это подпространство;является инвариантным подпространством пространства. В самом деле, пусть, т.е.. Нам надо доказать, что и вектор, т.е. что. Но преобразованиеперестановочно с, т.е..

Рассмотрим несколько более подробно структуру пространства . В нем есть векторы двух типов.

Если , т.е., то подавно и, т.е.. Таким образом,целиком содержится в. Если, но, т.е.,, то- присоединенный вектор первого порядка. Действительно, в этом случае _{есть собственный вектор.}

_{Таким образом, подпространство} получается, если к подпространствудобавить присоединенные векторы первого порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов, для которых

.

(3)

Это подпространство инвариантно относительно преобразования . Ясно, что подпространствосодержит предыдущее подпространство.

_{Определение 3. Вектор называется присоединенным вектором -го порядка, если вектор является присоединенным вектором - го порядка.}

По индукции можно показать, что если _{- присоединенный вектор -го порядка, то} ,. Другими словами, присоединенным вектором_{-го порядка называется вектор, принадлежащий} и не принадлежащий.

Пример. Пусть пространство многочленов степении преобразование- дифференцирование:. Легко видеть, чтоесть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор. Найдем для этого преобразования пространства. По определениюсостоит из всех многочленов, для которых, т.е.. Это будут все многочлены, степень которых не превышает. Присоединенными векторами будут многочлены, степень которых в точности равна.

В этом примере размерность каждого из подпространств равнаи она растет отдовместе с ростом. Подпространствоуже совпадает со всем пространством, и если мы захотим определить,и т.д., то все эти подпространства будут совпадать с.

Легко видеть также, что в этом примере . Это следует из того, что каждый многочлен степениесть производная от многочлена степени.

Упражнение. Показать, что для любого линейного преобразования имеет место включение.

Пусть - линейное преобразование, а- его собственное значение. Покажем, что подпространствасначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера, этот рост прекращается, т.е.(смотрите приведенный в этом пункте пример).

Мы уже показали, что каждое подпространство содержит, т.е. что с увеличением номера подпространства, а значит и из размерности, могут только увеличиваться.

Так как наше пространство конечномерно, то для какого-то мы впервые получим, что.

Докажем, что в этом случае , т.е. что дальнейшего возрастания подпространства не будет.

Действительно, предположим противное, а именно, что , но для некоторогоподпространствострого больше, чем. Тогда существует вектортакой, что,. Это значит, что

, но .

(4)

Обозначим через вектор. Тогда первое из выражений (4) означает, что, а второе, что, что невозможно, так как подпространстваипо предположению совпадают.

Итак, пусть - некоторое собственное значение преобразования. Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства, состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению. Его называют корневым подпространством, соответствующим собственному числу. Кроме того, в п. 3 нам понадобится более детальная структура. А именно, обозначая черезподпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка, мы получили возрастающую цепочку инвариантных подпространств

.

(5)

Все члены этой цепочки различны. Подпространство состоит при этом из всех векторов, для которых, т.е. это есть ядро преобразования.

Преобразование переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее.