11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть а_N некоторая числовая посл-ть и k_N-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций na_N и nk_N получа ем посл-ть a_Kn-которая наз. подпосл-тью посл-ти a_N=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim а_N=а, то и Lim а_Kn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n₀: n>n₀ |а_N-а|<Е, ввиду того что k_Nсуществует и такое n’, что при всех n>n’ k_N>n₀ тогда при тех же значениях n будет верно |а_Kn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: х_N - ограничена => n: ах_Nb. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти х_N (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а₁,b₁] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а₁,b₁] промежуток [а₂,b₂] также содержащий бесконечное число членов посл-ти х_N. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [а_K,b_K]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти х_N. Длина к-того промежутка равна b_K-а_K = (b-a)/2^K, кроме того она стремится к 0 при к и а_Kа_K+1 & b_Kb_K+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках ! с: n а_Ncb_N.

Теперь построим подпоследовательность:

х_N1 [а₁,b₁]

х_N2 [а₂,b₂] n₂>n₁

. . .

х_NK[а_K,b_K] n_K>n_K-1

ах_Nkb. (Lim a_K=Limb_K=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim х_Nk=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

x_N - ограниченная последовательность =>n а_Nх_Nb_N

х_NKх, так как х_NK-подпоследовательность => n ах_Nb =>ахb

х - частичный предел последовательности х_N

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аМb) => SupM &  InfM

Верхним пределом посл-ти x_N называют SupMSup{x_N}: пишут Lim x_N

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfMnf{x_N}: пишут lim x_N

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если х_N ограничена сверху (снизу), то  подпосл-ть х_NK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу х_N.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел х_N

 х’М: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’М =>  подпоследовательность х_NSх’ => Е>0 (в частности Е=1/к)  s₀: s>s₀ =>

х’-1/к<х_NS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<х_NS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<х_NS<х+1/к

Берем к=1: х-2<х_NS<х+1, т.е  s₀: s>s₀ это неравенство выполняется берем член посл-ти х_NS с номером больше s₀ и нумеруем его х_N1

k=1: х-2/1<х_N1<х+1/1

k=2: х-2/2<х_N2<х+1/2 n₁<n₂

...

k=k: х-2/к<х_NK<х+1/к n_K-1<n_K

При к х_NKх